Arbitrary high order shaped stencils for time domain finite difference schemes in seismic wave propagation

Technische Samenvatting: Willekeurige High-Order Shaped Stencils voor Time Domain Finite Difference Schema's in Seismische Golfvoortplanting

Probleemstelling
Seismische beeldvorming leunt zwaar op de numerieke oplossing van golfvergelijkingen, waarbij hoogwaardige oplossingen vereist zijn om spuwerige numerieke golven te onderdrukken en de fysieke dispersierelaties accuraat te behouden. Hoewel Finite Difference (FD) schema's de primaire keuze zijn voor seismische beeldvorming vanwege hun computationele efficiëntie, lijden ze aan inherente numerieke dispersie. Deze fout veroorzaakt dat de fasevochtigheid afhankelijk wordt van de roosterafstand en de discretierichting (anisotropie), wat zich vaak manifesteert als een vertraging van hoogfrequente componenten. Hoewel klassieke methoden gebaseerd op Taylor-reeksexpansies dominant zijn, leveren ze vaak ontoereikende representaties van golfdispersie. Het artikel adresseert de vraag of er effectieve winsten in computationele besparingen en een betere representatie van realistische snelheidsmodellen kunnen worden behaald door geoptimaliseerde FD-stencils van willekeurige vormen en orden, bewegend voorbij de standaard cross-stencil geometrie.

Methodologie
De auteurs stellen een algemeen wiskundig kader voor om high-order time-domain FD-schema's af te leiden voor de akoestische golfvergelijking met willekeurige stencilvormen. De studie richt zich op het isotrope akoestische geval, geïmplementeerd binnen het Devito symbolische computationele framework, dat de generatie van hooggeoptimaliseerde, stencil-gebaseerde code mogelijk maakt.

De methodologie omvat drie primaire componenten:

1. Stencil Geometrieën: Het artikel onderzoekt diverse stencilvormen, waaronder:

   • Cross Stencils: Klassieke lijn-stencils langs de assen.
   • Rhombus en Cross-Rhombus Stencils: Het toevoegen van "innerlijke" punten buiten de assen.
   • Square en Cross-Square Stencils: Het vullen van het stencil met een vierkant-achtige geometrie.
     De studie definieert de geometrische parameters ($M$, $N$, $P$, $Q$) die het aantal roosterpunten en de symmetrie van de gewichten controleren.

2. Afleidingsbenaderingen: De auteurs verenigen en breiden verschillende afleidingsstrategieën uit om de stencilgewichten te bepalen:

   • SpatTE: Ruimtelijke Taylor-expansies (klassieke benadering).
   • SpecTE: Spectrale Taylor-expansies van de ruimtelijke operator.
   • SpecLS: Least Squares benadering van de spectrale Taylor-reeks.
   • DispTE: Dispersie-gebaseerde Taylor-truncatie, waarbij temporele afgeleiden worden geruild voor ruimtelijke afgeleiden om dispersiefouten te verminderen.
   • DispLS: Least Squares benadering van de volledige tijd-ruimte spectrale operator om dispersiefout te minimaliseren.

3. Evaluatiemetrieken: Naast klassieke $L_1$, $L_2$ en $L_\infty$ foutnormen, gebruiken de auteurs Discrete Fourier Transform (DFT) en Continuous Wavelet Transform (CWT) analyses. Deze instrumenten kwantificeren dispersie-effecten door gewogen faseverschillen en amplitude-afwijkingen tussen numerieke en referentie-oplossingen te meten over frequentie- en tijd-frequentiedomeinen.

Belangrijkste Bijdragen

• Verenigd Framework: Het artikel biedt een algemene wiskundige formulering voor het afleiden van willekeurige-orde FD-schema's met willekeurige stencilvormen, waarbij bestaande literatuur over Taylor, Spectral en Least Squares benaderingen wordt verenigd.
• Systematische Vergelijking: Het voert een uitgebreide numerieke vergelijking uit van verschillende stencilgeometrieën (Cross, Rhombus, Square) gecombineerd met diverse afleidingsmethoden (SpatTE, SpecTE, DispTE, SpecLS, DispLS).
• Implementatie in Devito: De methoden zijn geïmplementeerd in Devito, wat aantoont hoe high-level symbolische definities kunnen worden gecompileerd naar efficiënte, low-level code geschikt voor full-scale akoestische seismische inversieproblemen.
• Analyse van Non-Cross Stencils: De studie test rigoureus de hypothese dat het toevoegen van non-cross (inner) punten aan stencils de nauwkeurigheid verbetert.

Resultaten
Numerieke experimenten werden uitgevoerd op vier snelheidsmodellen: Homogeen, Two-Layer, 2D SEG/EAGE Salt en Marmousi.

• Homogene en Eenvoudige Heterogene Modellen: In constante of eenvoudige two-layer snelheidsmodellen presteren geoptimaliseerde schema's (met name DispTE-CrossRb en DispLS-CrossRb) over het algemeen beter dan klassieke SpatTE-schema's in het verminderen van dispersie, vooral bij hogere orden ($M \geq 4$).
• Complexe Heterogene Modellen (Salt/Marmousi): In modellen met significante snelheidscontrasten degradeert de prestatie van snelheid-afhankelijke geoptimaliseerde schema's (zoals DispTE en DispLS) wanneer een enkel stencil over het gehele rooster wordt toegepast op basis van de maximale snelheid.
• Geometrie Bevindingen:
  • Cross Stencils vs. Complexe Vormen: Tegen de intuïtie in dat meer punten leiden tot betere nauwkeurigheid, wijzen de resultaten erop dat Cross stencils over het algemeen de beste afweging bieden tussen nauwkeurigheid en computationele kosten.
  • Diminishing Returns: Het toevoegen van non-cross punten (Rhombus of Square vormen) levert niet noodzakelijkerwijs extra nauwkeurigheid of dispersiereductie op. In veel gevallen, met name bij Square stencils, leiden het verhoogde aantal gewichten tot ill-posed lineaire systemen, numerieke instabiliteiten of verwaarloosbare verbeteringen ten op respectie van de verhoogde computationele kosten.
  • Robuustheid van Spatial-Only Methoden: In zeer heterogene media vertonen schema's die niet vertrouwen op snelheid-afhankelijke gewichtsberekening voor optimalisatie (specifiek SpecLS-CrossRb en SpatTE-Cross) een grotere robuustheid en lagere dispersie-artefacten dan snelheid-afhankelijke schema's.
• Trade-offs: Voor high-order schema's ($M \geq 4$) in homogene regio's bieden geoptimaliseerde Cross stencils een significante reductie van dispersie. Echter, in complexe media suggereert de gevoeligheid van geoptimaliseerde schema's voor variaties in snelheid dat eenvoudigere, snelheid-onafhankelijke schema's of adaptieve strategieën de voorkeur verdienen.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat hoewel de literatuur vaak complexe stencilgeometrieën onderzoekt om de nauwkeurigheid te verbeteren, non-cross stencilvormen (rhombus en square) niet noodzakelijkerwijs extra nauwkeurigheid of dispersiereductie bieden, ondanks hun verhoogde computationele kosten.

De primaire betekenis van het werk ligt in:

1. Validatie van Cross Stencils: Bevestiging dat dispersie-geoptimaliseerde Cross stencils adequate nauwkeurigheid bieden met gereduceerde computationele kosten vergeleken met klassieke benaderingen of complexere vormen.
2. Benadrukken van Snelheidsgevoeligheid: Aantonen dat de voordelen van dispersie-geoptimaliseerde schema's sterk afhankelijk zijn van het snelheidsmodel. In complexe, heterogene media kunnen schema's die vertrouwen op snelheid-afhankelijke gewichtsberekening minder goed presteren dan ruimtelijk geoptimaliseerde of klassieke schema's.
3. Praktische Implementatie: Het biedt een direct bruikbare implementatie in Devito, wat de toepassing van deze methoden voor full-scale akoestische seismische inversie (FWI) en Reverse Time Migration (RTM) problemen faciliteert.
4. Toekomstige Adaptatie: Opmerken dat het framework kan worden aangepast aan anisotrope modellen (VTI/TTI) en dat de pre-computatie van stencils (zoals bij SpecLS) efficiëntievoordelen biedt voor iteratieve inversie-workflows.

De auteurs concluderen dat voor praktische toepassingen in complexe media, de keuze van temporele en ruimtelijke parameters, evenals het snelheidsmodel, de oplossingskwaliteit kritisch beïnvloedt, en dat de "Cross" geometrie de meest efficiënte en robuuste keuze blijft voor de geteste scenario's.