Arbitrary high order shaped stencils for time domain finite difference schemes in seismic wave propagation

Resumo Técnico: Estênceis de Ordem Superior Arbitrários para Esquemas de Diferenças Finitas no Domínio do Tempo em Propagação de Ondas Sísmicas

Definição do Problema
O imageamento sísmico depende fortemente da solução numérica de equações de onda, onde são necessárias soluções de alta fidelidade para suprimir ondas numéricas espúrias e preservar com precisão as relações de dispersão física. Embora os esquemas de Diferenças Finitas (FD) sejam a escolha primária para o imageamento sísmico devido à sua eficiência computacional, eles sofrem de dispersão numérica inerente. Este erro faz com que a velocidade de fase dependa do espaçamento da grade e da direção da discretização (anisotropia), manifestando-se frequentemente como um retardamento dos componentes de alta frequência. Embora os métodos clássicos baseados em expansões de série de Taylor sejam dominantes, eles frequentemente fornecem representações inadequadas da dispersão de onda. O artigo aborda a questão de se ganhos efetivos em economia computacional e uma melhor representação de modelos de velocidade realistas podem ser alcançados através de estênceis de FD otimizados de formas e ordens arbitrárias, indo além da geometria padrão de estêncil em cruz (cross-stencil).

Metodologia
Os autores propõem um arcabouço matemático geral para derivar esquemas de FD de ordem elevada no domínio do tempo para a equação de onda acústica com formas de estêncil arbitrárias. O estudo foca no caso acústico isotrópico, implementado dentro do arcabouço computacional simbólico Devito, que permite a geração de código altamente otimizado baseado em estênceis.

A metodologia abrange três componentes principais:

1. Geometrias de Estêncil: O artigo investiga várias formas de estêncil, incluindo:

   • Estênceis em Cruz (Cross Stencils): Estênceis de linha clássicos ao longo dos eixos.
   • Estênceis de Losango e Cruz-Losango (Rhombus e Cross-Rhombus): Adicionando pontos "internos" fora dos eixos.
   • Estênceis de Quadrado e Cruz-Quadrado (Square e Cross-Square): Preenchendo o estêncil com uma geometria do tipo quadrada.
     O estudo define os parâmetros geométricos ($M$, $N$, $P$, $Q$) que controlam o número de pontos de grade e a simetria dos pesos.

2. Abordagens de Derivação: Os autores unificam e estendem diversas estratégias de derivação para determinar os pesos do estêncil:

   • SpatTE: Expansões de Taylor Espaciais (abordagem clássica).
   • SpecTE: Expansões de Taylor Espectrais do operador espacial.
   • SpecLS: Aproximação de Mínimos Quadrados da série de Taylor Espectral.
   • DispTE: Truncamento de Taylor baseado em dispersão, trocando derivadas temporais por derivadas espaciais para reduzir erros de dispersão.
   • DispLS: Aproximação de Mínimos Quadrados do operador espectral tempo-espaço completo para minimizar o erro de dispersão.

3. Métricas de Avaliação: Além das normas de erro clássicas $L_1$, $L_2$ e $L_\infty$, os autores empregam análises de Transformada de Fourier Discreta (DFT) e Transformada de Wavelet Contínua (CWT). Essas ferramentas quantificam efeitos de dispersão medindo diferenças de fase ponderadas e desvios de amplitude entre as soluções numéricas e de referência através dos domínios de frequência e tempo-frequência.

Principais Contribuições

• Arcabouço Unificado: O artigo fornece uma formulação matemática geral para derivar esquemas de FD de ordem arbitrária com formas de estêncil arbitrárias, unificando a literatura existente sobre abordagens de Taylor, Espectrais e de Mínimos Quadrados.
• Comparação Sistemática: Realiza uma comparação numérica abrangente de diferentes geometrias de estêncil (Cruz, Losango, Quadrado) combinadas com várias abordagens de derivação (SpatTE, SpecTE, DispTE, SpecLS, DispLS).
• Implementação no Devito: Os métodos são implementados no Devito, demonstrando como definições simbólicas de alto nível podem ser compiladas em código de baixo nível eficiente, adequado para problemas de inversão sísmica acústica de escala total.
• Análise de Não-Cruz (Non-Cross) Stencils: O estudo testa rigorosamente a hipótesia de que adicionar pontos não-cruz (internos) aos estênceis melhora a precisão.

Resultados
Experimentos numéricos foram conduzidos em quatro modelos de velocidade: Homogêneo, Duas Camadas, Sal SEG/EAGE 2D e Marmousi.

• Modelos Homogêneos e Heterogêneos Simples: Em modelos de velocidade constante ou de duas camadas simples, os esquemas otimizados (particularmente DispTE-CrossRb e DispLS-CrossRb) geralmente superam os esquemas SpatTE clássicos na redução da dispersão, especialmente em ordens mais altas ($M \geq 4$).
• Modelos Heterogêneos Complexos (Sal/Marmousi): Em modelos com contrastes de velocidade significativos, o desempenho dos esquemas otimizados dependentes de velocidade (como DispTE e DispLS) degrada-se quando um único estêncil é aplicado em toda a grade com base na velocidade máxima.
• Descobertas de Geometria:
  • Estênceis em Cruz vs. Formas Complexas: Contrário à intuição de que mais pontos resultam em maior precisão, os resultados indicam que os estênceis em Cruz (Cross stencils) geralmente oferecem o melhor compromisso entre precisão e custo computacional.
  • Retornos Decrescentes: Adicionar pontos não-cruz (formas de Losango ou Quadrado) não proporciona necessariamente acréscimo de precisão ou redução de dispersão. Em muitos casos, particularmente com estênceis Quadrados, o aumento do número de pesos leva a sistemas lineares mal condicionados, instabilidades numéricas ou melhorias negligenciáveis em comparação com o aumento do custo computacional.
  • Robustez de Métodos Apenas Espaciais: Em meios altamente heterogêneos, os esquemas que não dependem de pesos dependentes de velocidade para otimização (especificamente SpecLS-CrossRb e SpatTE-Cross) demonstraram maior robustez e menores artefatos de dispersão do que os esquemas dependentes de velocidade.
• Compromissos (Trade-offs): Para esquemas de ordem alta ($M \geq 4$) em regiões homogêneas, estênceis em Cruz otimizados oferecem redução significativa de dispersão. No entanto, em meios complexos, a sensibilidade dos esquemas otimizados às variações de velocidade sugere que esquemas mais simples, independentes de velocidade, ou estratégias adaptativas podem ser preferíveis.

Significância e Alegações
O artigo alega que, embora a literatura explore frequentemente geometrias de estêncil complexas para melhorar a precisão, as formas de estêncil não-cruz (losango e quadrado) não proporcionam necessariamente acréscimo de precisão ou redução de dispersão em geral, apesar de seu maior custo computacional.

A principal significância do trabalho reside em:

1. Validação de Estênceis em Cruz: Confirmar que os estênceis em Cruz (Cross stencils) otimizados para dispersão oferecem precisão adequada com custo computacional reduzido em comparação com abordagens clássicas ou formas mais complexas.
2. Destaque da Sensibilidade à Velocidade: Demonstrar que os benefícios de esquemas otimizados para dispersão são altamente dependentes do modelo de velocidade. Em meios complexos e heterogêneos, esquemas que dependem do cálculo de pesos dependentes de velocidade podem ter desempenho inferior aos esquemas puramente espaciais ou clássicos.
3. Implementação Prática: Fornecer uma implementação pronta para uso no Devito, facilitando a aplicação desses métodos a problemas de inversão sísmica acústica (FWI) e migração reversa no tempo (RTM) de escala total.
4. Adaptação Futura: Observar que o arcabouço pode ser adaptado para modelos anisotrópicos (VTI/TTI) e que a pré-computação de estênceis (como em SpecLS) oferece vantagens de eficiência para fluxos de trabalho de inversão iterativa.

Os autores concluem que, para aplicações práticas em meios complexos, a escolha dos parâmetros temporais e espaciais, bem como o modelo de velocidade, influencia criticamente a qualidade da solução, e que a geometria "Cruz" (Cross) permanece como a escolha mais eficiente e robusta para os cenários testados.