Ground state preparation of random all-to-all Hamiltonians using ADAPT-VQE

Technische Samenvatting: Voorbereiding van de Grondtoestand van Willekeurige All-to-All Hamiltoniaanse Functies met behulp van ADAPT-VQE

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging van het voorbereiden van grondtoestanden voor willekeurige Hamiltoniaanse functies met all-to-all interacties, specifiek het kwantum Sherrington-Kirkpatrick (SK) model en het Sachdev-Ye-Kitaev (SYK) model (in zowel dichte als ijle varianten). Deze systemen worden gekenmerkt door volume-wet verstrengeling in hun grondtoestanden, wat ze moeilijk simuleerbaar maakt met klassieke tensor netwerkmethoden. Hoewel Neural Quantum States (NQS) de klassieke benaderingen hebben verbeterd, worstelen zij met het reproduceren van het correcte gedrag van alle volume-wet toestanden, in het bijzonder voor het SYK-model. Daarom onderzoeken de auteurs of variationele kwantumalgoritmen een kwantumvoordeel kunnen bieden bij het simuleren van deze specifieke gedesorderde systemen, een vraag die open blijft ondanks theoretische argumenten die suggereren dat voldoende ijle willekeurige Hamiltoniaanse functies gemakkelijk te bereiden zouden kunnen zijn.

Methodologie
De auteurs maken gebruik van het TETRIS-ADAPT-VQE (Adaptive Derivative Assembled Problem-Tailored Variational Quantum Eigensolver) algoritme. Deze aanpak construeert compacte, hardware-vriendelijke kwantumcircuits door iteratief operatoren te selecteren uit een vooraf gedefinieerde pool op basis van gradiëntinformatie, waardoor optimalisatieproblemen geassocieerd met vaste ansätze worden vermeden.

Belangrijke methodologische componenten zijn:

• Operator Pools: Om de symmetrieën van de Hamiltoniaanse functies te respecteren en efficiënte convergentie te garanderen, construeren de auteurs symmetrie-geïnformeerde Pauli-operator pools.
  • Voor het SK-model bevat de pool operatoren $Z_i Y_j$ en $Y_i Z_j$ ($i < j$), afgeleid van tijdreversie- en pariteitssymmetrieën.
  • Voor de SYK-modellen (dicht en ijl), bevat de pool $Z_i$, $X_i Y_j$, $Y_i X_j$, en $Z_i Z_j$ ($i < j$), waarbij de $Z_2$ pariteitssymmetrie wordt gerespecteerd.
• Referentietoestanden: Simulaties maken gebruik van een gelijke superpositie van Néel-toestanden (voor SK) of specifieke Néel-toestanden in de juiste $Z_2$ pariteit-sector (voor SYK) als initiële referentietoestand.
• Simulatieomvang: De studie voert ruisvrije klassieke simulaties uit om schaling te evalueren.
  • SK-model: Tot $L = 18$ sites (qubits).
  • SYK-modellen: Tot $N = 20$ Majorana-fermionen (overeenkomend met $n = 10$ qubits). Het ijle SYK-model gebruikt een sparsificatieparameter $k_s = 9$.

Belangrijkste Resultaten
De prestaties van het algoritme variëren aanzienlijk tussen de SK- en SYK-modellen:

1. Kwantum SK-model:

   • Het algoritme construeert succesvol nauwkeurige grondtoestanden voor tot $L=18$ qubits.
   • Fidelity: Bereikt fidelities $\geq 99,9998\%$ voor alle geteste instanties.
   • Schaling: De voorbereiding is efficiënt, waarbij de twee-qubit gate diepte (CNOT-aantal) en het aantal variatiemparameters polynomiaal schalen met de systeemgrootte.
   • Fase-afhankelijkheid: Het algoritme vereist minder iteraties en parameters voor $\Gamma = 3$ (paramagnetische fase) vergeleken met $\Gamma = 1$ (nabij de spin-glas faseovergang bij $\Gamma = 1,5$), wat de veranderende complexiteit van de grondtoestand weerspiegelt.

2. Dichte en IJle SYK-modellen:

   • Het algoritme bereikt hoge fidelities ($\geq 99,3\%$) voor tot $N=20$ Majorana-fermionen.
   • Schaling: In tegen tegenstelling tot het SK-model, schalen de twee-qubit gate diepte en het aantal parameters exponentieel (of als een hogere-graads polynoom) met de systeemgrootte voor zowel de dichte als de ijle varianten.
   • Impact van Sparsity: Hoewel sparsificatie (het reduceren van Hamiltonian-termen van $O(N^4)$ naar $O(N)$) de meetkosten voor klassieke post-verwerking aanzienlijk verlaagt, vermindert het niet de variationele complexiteit die nodig is om de grondtoestand te bereiden.
   • Verstrengelingsanalyse: Zowel dichte als ijle ($k_s=9$) SYK-grondtoestanden vertonen volume-wet verstrengelingsentropie ($S_{EE} \propto N$) met bijna identieke coëfficiënten. Dit geeft aan dat de moeilijkheid in de voorbereiding wordt gedreven door de verstrengelingsstructuur van de toestand in plaats van het aantal termen in de Hamiltonian.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat hoewel TETRIS-ADAPT-VQE een efficiënte methode is voor het voorbereiden van grondtoestanden van het kwantum SK-model (wat suggereert dat het een geschikte taak is voor nabije-term kwantumcomputers), het niet efficiënt is voor de dichte of matig ijle SYK-modellen die worden overwogen.

• Intrinsieke Moeilijkheid: De auteurs concluderen dat de geobserveerde exponentiële schaling voor SYK-modellen waarschijnlijk intrinsiek is aan het probleem (door de volume-wet verstrengeling) en niet een artefact is van de keuze van hyperparameters, zoals getest door variërende referentietoestanden en operator pools.
• Limieten van Sparsificatie: Het werk demonstreert dat voor $k_s = 9$, sparsificatie de grondtoestand-voorbereiding niet "gemakkelijk" maakt in de kwantumsens, wat een onderscheid maakt met de "voldoende ijle" Hamiltoniaanse functies ($d=O(1)$) die in de theoretische literatuur worden besproken waar men stelt dat de voorbereiding gemakkelijk is.
• Openstaande Vragen: De auteurs merken op dat het een open vraag blijft of grondtoestand-voorbereiding efficiënt kan zijn voor deze modellen op kwantumcomputers voor minder ijle regimes ($k_s \gg 1$) of of alternatieve algoritmen (bijv. AVQITE) andere resultaten zouden opleveren. Ze vonden ook dat de overdraagbaarheid van de ansatz tussen verschillende disorder-instanties in de praktijk niet werkt voor deze systemen.

Samenvattend biedt het werk een rigoureuze numerieke benchmark die aantoont dat hoewel variationele kwantumalgoritmen bepaalde all-to-all spinmodellen efficiënt kunnen behandelen, zij momenteel aanzienlijke schaleringsbarrières ervaren voor fermionische modellen met volume-wet verstrengeling zoals het SYK-model, zelfs wanneer de Hamiltonian is gesparsificeerd.