Ground state preparation of random all-to-all Hamiltonians using ADAPT-VQE

技術要約：ADAPT-VQEを用いたランダムな全結合ハミルトニオンの基底状態準備

問題提起
本論文は、量子シュリンクトン・カークパトリック（SK）モデル、およびサッチデフ・イェ・キタエフ（SYK）モデル（高密度および疎なバリアントの両方）に代表される、全結合相互作用を持つランダムなハミルトニオンの基底状態準備における課題に取り組んでいる。これらの系は、その基底状態においてボリューム則（volume-law）のエンタングルメントを特徴としており、古典的なテンソルネットワーク手法によるシミュレーションを困難にしている。ニューラル量子状態（NQS）は古典的な近似を改善してきたが、特にSYKモデルのような全てのボリューム則状態の正しい挙動を再現することには苦慮している。したがって、著者らは、変分量子アルゴリズムがこれらの特定の無秩序系をシミュレートする上で量子優位性を提供できるかどうかを調査している。これは、十分に疎なランダムハミルトニオンは準備が容易である可能性を示唆する理論的議論があるにもかかわらず、依然として未解決の問いである。

手法
著者らは、TETRIS-ADAPT-VQE（Adaptive Derivative Assembled Problem-Tailored Variational Quantum Eigensolver）アルゴリズムを採用している。このアプローチは、勾配情報に基づいて定義済みの演算子プールから演算子を反復的に選択することで、固定されたアンサンブルに伴う最適化の問題を回避し、コンパクトでハードウェアフレンドリーな量子回路を構築する。

主要な手法構成要素は以下の通りである：

• 演算子プール： ハミルトニオンの対称性を尊重し、効率的な収束を確実にするため、著者らは対称性を考慮したパウリ演算子プールを構築している。
  • SKモデルについては、時間反転対称性とパリティ対称性から導出された演算子 $Z_i Y_j$ および $Y_i Z_j$ ($i < j$) をプールに含める。
  • SYKモデル（高密度および疎なモデル）については、$Z_2$ パリティ対称性を尊重する $Z_i$, $X_i Y_j$, $Y_i X_j$, および $Z_i Z_j$ ($i < j$) をプールに含める。
• 参照状態： シミュレーションでは、初期参照状態として、ネール状態の等価重ね合わせ（SK用）、または正しい $Z_2$ パリティセクターにおける特定のネール状態（SYK用）を利用する。
• シミュレーション範囲： スケーリングを評価するために、ノイズレスな古典シミュレーションを実施した。
  • SKモデル： 最大 $L = 18$ サイト（量子ビット）。
  • SYKモデル： 最大 $N = 20$ マヨラナフェルミオン（$n = 10$ 量子ビットに相当）。疎なSYKモデルでは、希薄化パラメータ $k_s = 9$ を使用。

主な結果
アルゴリズムの性能は、SKモデルとSYKモデルの間で大きく異なる：

1. 量子SKモデル：

   • アルゴリズムは、最大 $L=18$ 量子ビットに対して正確な基底状態を構築することに成功した。
   • フィデリティ： 全てのテストされたインスタンスにおいて、フィデリティ $\geq 99.9998\%$ を達成した。
   • スケーリング： 準備は効率的であり、2量子ビットゲート深度（CNOTカウント）および変分パラメータ数は、システムサイズに対して多項式的にスケーリングする。
   • 相依存性： $\Gamma = 1$（$\Gamma = 1.5$ 付近のスピングラス相転移付近）と比較して、$\Gamma = 3$（常磁性相）の方が、より少ない反復回数とパラメータを必要とする。これは、基底状態の複雑さの変化を反映している。

2. 高密度および疎なSYKモデル：

   • アルゴリズムは、最大 $N=20$ マヨラナフェルミオンに対して高いフィデリティ（$\geq 99.3\%$）を達成した。
   • スケーリング： SKモデルとは異なり、高密度および疎なバリアントの両方において、2量子ビットゲート深度およびパラメータ数は、システムサイズに対して指数関数的（または高次多項式的）にスケーリングする。
   • 希薄化の影響： 希薄化（ハミルトニオン項を $O(N^4)$ から $O(N)$ へ削減）は、古典的な事後処理の測定コストを大幅に下げるが、基底状態の準備に必要な変分複雑性を減少させることはない。
   • エンタングルメント解析： 高密度および疎な（$k_s=9$）SYK基底状態は、共にボリューム則のエンタングルメント・エントロピー（$S_{EE} \propto N$）を示し、係数はほぼ同一である。これは、準備の困難さが、ハミルトニオン項の数ではなく、状態のエンタングルメント構造によって駆動されていることを示している。

意義と主張
本論文は、TETRIS-ADAPT-VQEが量子SKモデルの基底状態を準備するための効率的な手法であることを示唆している一方で（これは量子コンピュータにとって適切なタスクであることを示唆している）、検討された高密度または中程度の疎なSYKモデルに対しては効率的ではないと主張している。

• 固有の困難性： 著者らは、SYKモデルで見られた指数関数的なスケーリングは、参照状態や演算子プールを変えて検証しても、ハイパーパラメータの選択によるアーティファクトではなく、問題に固有のものである可能性が高いと結論付けている。
• 希薄化の限界： 本研究は、$k_s = 9$ の場合、希薄化が量子的な意味での基底状態準備を「容易」にするわけではないことを示しており、これは準備が容易であると論じられている理論文献の「十分に疎な」ハミルトニオン（$d=O(1)$）とは区別される。
• 未解決の問い： 著者らは、これらのモデルに対して、より疎なレジーム（$k_s \gg 1$）において量子コンピュータ上での基底状態準備が効率的になり得るのか、あるいは代替アルゴリズム（例：AVQITE）が異なる結果をもたらすのかは、依然として未解決の問いであると述べている。また、異なる無秩序インスタンス間でのアンザッツの転送可能性（transferability）は、これらの系においては実用的には機能しないことも判明した。

要約すると、本研究は、変分量子アルゴリズムが特定の全結合スピンモデルを効率的に扱える一方で、SYKモデルのようなボリューム則のエンタングルメントを持つフェルミオンモデルに対しては、ハミルトニオンが希薄化されている場合であっても、現在、重大なスケーリングの障壁に直面していることを示す厳密な数値的ベンチマークを提供している。