High-dimensional quantum process tomography with undetected photons

Technische Samenvatting: Hoogdimensionale Kwantumproces-tomografie met Ongedetecteerde Fotonen

Probleemstelling
Kwantumproces-tomografie (QPT) is essentieel voor de volledige karakterisering van kwantumoperaties, een vereiste voor het benchmarken en valideren van kwantumnetwerken. Hoewel hoogdimensionale kwantumsystemen (qudits), met name die gecodeerd in fotonische toestanden zoals orbitale hoekmomenten (OAM), superieure informatiecapaciteit en ruistolerantie bieden vergeleken met qubits, vormt het karakteriseren ervan aanzienlijke uitdagingen. Bestaande QPT-methoden, inclusief ancilla-ondersteunde technieken, berusten fundamenteel op het detecteren van het foton dat de transformatie heeft ondergaan. Deze vereiste beperkt de verkenning van specifieke spectrale regio's, zoals het midden- en ver-infrarood, waar adequate enkelvoudige-fotonendetectoren niet beschikbaar zijn. Bovendien hebben recente ontwikkelingen aangetoond dat de reconstructie van hoogdimensionale unitaire transformaties mogelijk is zonder de getransformeerde qudit te detecteren via pad-identiteit, maar deze methoden strekken zich niet uit tot niet-unitaire operaties, die gebruikelijk zijn in praktische scenario's en gepaard gaan met verlies of decoherentie.

Methodologie
De auteurs stellen een interferometrisch schema voor op basis van de Zou-Wang-Mandel interferometer om QPT uit te voeren op willekeurige lineaire kwantumoperaties (zowel unitair als niet-unitair) zonder het getransformeerde foton te detecteren. De opstelling maakt gebruik van twee onderling coherente, identieke bronnen ($Q_1$ en $Q_2$) die hoogdimensionale Bell-toestanden genereren bestaande uit signaal- ($S$) en idler-fotonparen.

1. Pad-identiteit en Coherentie: Het idler-foton van bron $Q_1$ wordt door bron $Q_2$ gestuurd en perfect uitgelijnd met het idler-foton gegenereerd door $Q_2$. Deze "pad-identiteit" wist de "welk-pad"-informatie voor de signaal-fotonen, wat coherentie induceert tussen de signaalbundels $S_1$ en $S_2$.
2. Ongedetecteerde Transformatie: Een onbekende kwantumoperatie $\hat{T}$ (potentieel niet-unitair) wordt toegepast op het idler-foton in bundel $I_1$. Cruciaal is dat dit idler-foton nooit wordt gedetecteerd.
3. Gecontroleerde Unitaire en Interferentie: Een bekende, controleerbare unitaire transformatie $\hat{U}$ wordt toegepast op het signaal-foton in bundel $S_1$. De signaalbundels $S_1$ en $S_2$ worden vervolgens samengevoegd bij een beamsplitter, en een enkel-foton detector meet de output na projectie op een specifieke OAM-modus.
4. Theoretisch Kader: De auteurs adresseren de theoretische uitdaging van niet-unitaire transformaties, die de veldcommutatierelaties niet behouden. Zij introduceren een vacuümveldterm om niet-unitaire operatoren analytisch te behandelen, waardoor gegarandeerd wordt dat het getransformeerde veld een legitieme kwantumoperator blijft. Dit formalisme verenigt de behandeling van zowel unitaire als niet-unitaire operaties binnen hetzelfde interferometrische kader.

Belangrijkste Resultaten en Reconstructieprotocol
De methode berust op het analyseren van het enkel-foton interferentiepatroon dat wordt waargenomen bij de detector. De detectiekans $P_d$ vertoont een sinusvormige variatie afhankelijk van de interferometrische fase, waarbij de zichtbaarheid en fase van het patroon de matrixelementen van de onbekende operator $\hat{T}$ coderen.

• Diagonale Elementen: Door de bekende unitaire $\hat{U}$ gelijk te stellen aan de identiteitsmatrix, onthult het interferentiepatroon de grootte en het argument van de diagonale elementen van $\hat{T}$.
• Off-diagonale Elementen: Om willekeurige matrixelementen te extraheren, stellen de auteurs voor om specifieke tweedimensionale rotaties in de OAM-ruimte toe te passen op de signaalbundel. Door de rotatiehoek $\theta$ te variëren (specifiek tussen $0$ en $\pi/2$) en specifieke modi te detecteren, levert de zichtbaarheid van de resulterende interferentiepatronen de grootte van de matrixelementen op, terwijl de faseschuivingen hun argumenten leveren.
• Efficiëntie: Om een volledige $N$-dimensionale onbekende operatie te reconstrueren, vereist het protocol $N(N-1)/2$ keuzes van de rotatiematrix $\hat{U}_b(q,r)$.
• Demonstratie: De auteurs bieden een theoretisch numeriek voorbeeld waarbij een niet-unitaire $4 \times 4$ matrix wordt gereconstrueerd, afgeleid van een Hadamard-poort met modus-afhankelijke verliezen. Door zes specifieke rotatie-instellingen toe te passen, tonen zij aan dat alle 16 matrixelementen, inclusief complexe waarden, uitsluitend kunnen worden verkregen uit de interferentiepatronen van de signaal-fotonen.

Betekenis en Claims
Het artikel beweert aan te tonen dat kwantumproces-tomografie kan worden uitgevoerd op hoogdimensionale kwantumtoestanden zonder ooit het foton te detecteren dat met het onbekende proces heeft geïnteracteerd. De primaire betekenis ligt in het uitbreiden van de pad-identiteit techniek, die voorheen beperkt was tot unitaire transformaties, naar de bredere klasse van lineaire niet-unitaire operaties.

De auteurs benadrukken dat deze aanpak de detectorbeperkingen geassocieerd met specifieke golflengtegebieden overwint, aangezien de detectie wordt uitgevoerd op het signaal-foton (dat gekozen kan worden in een detecteerbaar bereik, bijv. zichtbaar of nabij-infrarood) terwijl de transformatie plaatsvindt op het idler-foton (dat zich in een moeilijk te detecteren bereik kan bevinden). De methode is geworteld in de kwantumveldentheorie, wat suggereert dat deze in principe toepasbaar kan zijn op niet-fotonische kwantumsystemen. Het werk vestigt een theoretisch en experimenteel pad voor het karakteriseren van kwantumprocessen in regimes waar directe detectie van de getransformeerde toestand momenteel onmogelijk is.