The $\psi$(2S) state as a subthreshold pole in electron positron annihilation into $D\bar D$ final states

Technische Samenvatting: De $\psi(2S)$-toestand als een Subthreshold Pole in $e^+e^- \to D\bar{D}$

Probleemstelling
Het artikel behandelt de uitdaging van het nauwkeurig modelleren van de dwarsdoorsnede voor elektron-positron annihilatie naar $D\bar{D}$-eindtoestanden ($e^+e^- \to D^0\bar{D}^0$ en $e^+e^- \to D^+D^-$). Vector Meson Dominance (VMD)-modellen parametriseren dergelijke processen doorgaans met Breit-Wigner-resonanties die toegankelijk zijn boven de reactiedrempel, maar de auteur veronderstelt dat subthreshold poles (SPs)—stabiele toestanden die op de reële as van het complexe $s$-vlak liggen onder de fysieke drempel—de amplitude significant beïnvloeden. Eerdere analyses, waaronder die van de BESIII-collaboratie, gingen ervan uit dat er alleen resonanties boven de drempel aanwezig waren, wat potentieel leidde tot discrepanties in de kwaliteit van de fit en de extractie van resonantieparameters. Het specifieke gebied van belang ligt tussen de $D\bar{D}$-drempel en 3,8 GeV, een gat in de recente BESIII-data dat naar verwachting het meest gevoelig is voor subthreshold-effecten.

Methodologie
De auteur voert een globale fit uit op een samengevoegde dataset bestaande uit 328 datapunten van de BES-collaboratie (jaren '90, BEPC-collider) en de BESIII-collaboratie (2018–2024, BEPCII-collider). De dataset bevat "geklede" (dressed) dwarsdoorsneden voor zowel de $D^0\bar{D}^0$- als de $D^+D^-$-kanalen.

Het theoretische kader maakt gebruik van een VMD-model gebaseerd op een specifieke interactie-Lagrangiaan. De dwarsdoorsneeformule (Gelijk. 2) sommeert bijdragen van $n$ resonanties en een subthreshold pole. Belangrijke methodologische keuzes omvatten:

• Parametrisatie: Het model behandelt resonantiemassa's ($M_k$), breedtes ($\Gamma_k$), koppelingsfactoren ($Q_k$) en fasesverschuivingen ($\delta_k$) als vrije parameters, met aparte koppelings-/faseparameters voor de neutrale en geladen $D$-mesonkanalen om fysieke en experimentele verschillen te verklaren.
• Fit-strategie: Het fitteringsproces begon met een minimale set resonanties en voegde deze stapsgewijs toe. De auteur testte systematisch modellen met variërende aantallen resonanties (tot zeven) en de inclusie van een subthreshold pole.
• Statistische Analyse: De kwaliteit van de fits wordt geëvalueerd aan de hand van de $\chi^2$ per vrijheidsgraad (DOF) en $p$-waarden. De statistische significantie van het toevoegen van een nieuwe component (resonantie of SP) wordt geschat via veranderingen in de likelihood-functie, $\delta(-2 \ln L)$.

Belangrijkste Bijdragen en Resultaten

1. Identificatie van de Subthreshold Pole:
   De auteur stelde vast dat een fit die uitsluitend resonanties bevat, een slechte statistische kwaliteit oplevert ($p$-waarde = 0,16% voor zes resonanties). Het introduceren van een nieuwe component met onbeperkte parameters onthulde een "resonantie" met een massa van $3691 \pm 56$ MeV en een breedte consistent met nul ($0 \pm 160$ MeV). Deze entiteit ligt onder de $D\bar{D}$-drempel (3729,68 MeV), wat het identificeert als een subthreshold pole.
2. Associatie met $\psi(2S)$:
   De massa van de ontdekte subthreshold pole is compatibel met de bekende massa van de $\psi(2S)$-toestand ($3686,097$ MeV). De auteur fixeert de poolmassa op de $\psi(2S)$-waarde met een verwaarloosbare breedte voor de daaropvolgende analyse.
3. Optimale Fit-configuratie:
   De beste fit wordt bereikt met één subthreshold pole ($\psi(2S)$) en zeven resonanties. Deze configuratie levert op:
   • $\chi^2/\text{DOF} = 240,4/284$
   • $p$-waarde = 97%
   • Statistische significantie van de $\psi(2S)$ als subthreshold pole: 8$\sigma$.
4. Resonantie-interferentie en "Flip-over":
   Een opvallend resultaat is de interferentie tussen de subthreshold pole en de resonanties. Deze interferentie veroorzaakt een inversie ("flip-over") van de resonantievormen in de dwarsdoorsneecurves voor alle resonanties, behalve voor de dominante $\psi(3770)$. Pieken in de resonantie-alleen curve worden dalen in de volledige curve, en vice versa. Dit verklaart waarom eerdere fits die vaste PDG-resonantieparameters aannamen, niet in staat waren de data te reproduceren.
5. Resonantieparameters:
   De gefitte parameters voor de zeven resonanties verschillen in verschillende gevallen van de standaard PDG-waarden. Bijvoorbeeld, de resonantie die overeenkomt met $\psi(3770)$ komt goed overeen met de PDG, terwijl anderen verschijnen waar $\psi(4160)$ of $\psi(4230)$ werden verwacht, wat suggereert dat de interferentie-effecten de schijnbare massa en breedte van toestanden in dit kanaal aanzienlijk veranderen.

Significantie en Claims
Het artikel beweert dat de $\psi(2S)$-toestand, hoewel het een resonantie is in andere processen, fungeert als een subthreshold pole in het $e^+e^- \to D\bar{D}$-proces. De auteur stelt dat:

• Het negeren van deze subthreshold pole leidt tot onbetrouwbare fits en een incorrecte extractie van resonantieparameters (massa's, breedtes en koppelingen).
• De hoge kwaliteit van de fit (97% $p$-waarde) afhankelijk is van de gelijktijdige inclusie van de $\psi(2S)$ subthreshold pole en de vrijheid om resonantieparameters aan te passen.
• Standaard Breit-Wigner-parametrisaties die gebruikmaken van het product van vertakkingsratio's en elektronische breedtes ontoereikend zijn om dergelijke polen te detecteren, omdat ze in deze context op wiskundige inconsistenties (negatieve waarden onder vierkantswortels) kunnen stuiten.

De studie concludeert dat het bereiken van een betrouwbare beschrijving van $e^+e^- \to D\bar{D}$-data vereist dat men de analytische eigenschappen van de amplitude erkent, specifelijk de aanwezigheid van subthreshold poles, in plaats van enkel te vertrouwen op een som van resonanties boven de drempel.