The moments of split greatest common divisors

Resumo Técnico: Os Momentos do Máximo Divisor Comum Dividido

Enunciado do Problema
Este artigo aborda o comportamento assintótico dos momentos da sequência $(\gcd(n, u_n))_{n \in \mathbb{N}}$, onde $(u_n)$ é uma sequência de Lucas não degenerada. Embora o estudo de $\gcd(u_n, v_n)$ para sequências de divisibilidade gerais seja um problema difícil, conectado a conjecturas profundas da geometria diofantina (como a conjectura de Vojta), o caso específico de $\gcd(n, u_n)$ corresponde a sequências de divisibilidade originadas do grupo algébrico $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$.

Trabalhos anteriores por Sanna estabeleceram as assíntotas para os momentos logarítmicos $\sum_{n \le x} (\log \gcd(n, u_n))^\lambda$. No entanto, os momentos da própria sequência, $\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda$, permaneceram amplamente não resolvidos, com apenas limites superiores parciais disponíveis (por exemplo, por Mastrostefano). O objetivo principal é determinar estimativas assintóticas precisas para esses momentos, fornecendo tanto resultados incondicionais quanto resultados condicionais baseados em conjecturas padrão da teoria analítica dos números.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de teoria analítica dos números, propriedades de sequências de Lucas e construções combinatórias envolvendo números suaves (smooth numbers).

1. Ordem de Aparição e Divisibilidade: A análise baseia-se na ordem de aparição $z(m)$, o menor $n$ tal que $m \mid u_n$. A condição $n' = \gcd(n'k, u_{n'k})$ é traduzida em condições envolvendo $z(n')$ e a divisibilidade de $n'k$. A soma é decomposta com base em pares $(n', k)$ onde $n = n'k$.
2. Limites Superiores: O limite superior incondicional é derivado dividindo o domínio da soma em casos baseados no tamanho de variáveis auxiliares. Um componente crítico é limitar o número de inteiros $n$ para os quais $\gcd(n, z(n))$ é grande. Isso utiliza um resultado de Gordon e Pomerance sobre a contagem de inteiros com uma ordem de aparição fixa.
   • Para o limite superior condicional, os autores assumem a Conjectura 3.2, que postula uma estimativa de densidade mais forte para inteiros com uma ordem de aparição fixa, análoga a limites para pseudoprimos.
3. Limites Inferiores: A estratégia envolve a construção de um grande subconjunto de inteiros $n$ tais que $n \mid u_n$ (denotado por $N_u(x)$).
   • Limite Inferior Condicional: Os autores constroem um conjunto de inteiros composto por primos deslocados $p$ onde $p - (\Delta/p)$ é suave. Isso depende da Conjectura 4.2, uma instância fraca da conjectura de Granville sobre a distribuição de primos deslocados suaves.
   • Limite Inferior Incondicional: Para o caso específico onde o coeficiente $a_2 = \pm 1$, os autores utilizam um resultado recente de Lichtman sobre a distribuição de primos deslocados suaves em progressões aritméticas (Teorema 5.1). Isso permite a construção de um conjunto suficientemente grande de inteiros $n$ que dividem $u_n$ sem assumir conjecturas não provadas.
4. Estimativas Integrais: Para transitar da cardinalidade do conjunto $N_u(x)$ para a soma dos momentos, os autores aplicam o teorema integral de Karamata e argumentos de somação parcial.

Resultados Principais

• Assíntotas Condicionais (Teorema 1.3): Assumindo as Conjecturas 3.2 e 4.2, para uma sequência de Lucas não degenerada com $a_2 = \pm 1$, os momentos satisfazem:
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda = x^{\lambda+1 - (1+o_\lambda(1)) \frac{\log \log \log x}{\log \log x}}$$
  Isso resolve o problema dos momentos para $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m sob conjecturas padrão.

• Limite Superior Incondicional (Teorema 1.4): Para qualquer sequência de Lucas não degenerada, os autores provam:
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda \le x^{\lambda+1 - (1/2+o_\lambda(1)) \frac{\log \log \log x}{\log \log x}}$$
  O expoente $1/2$ é observado como um artefato do método atual.

• Limite Inferior Incondicional (Teorema 1.4): Se $a_2 = \pm 1$, os autores estabelecem um limite inferior:
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda \ge x^{\lambda + 0.715}$$
  Este resultado é derivado usando o teorema de Lichtman sobre primos deslocados suaves.

• Conjectura Refinada (Conjectura 1.5): Baseando-se na analogia com pseudoprimos de Lucas, os autores conjecturam uma forma assintótica mais precisa envolvendo um termo exponencial com logaritmos iterados, sugerindo que os limites atuais não são o limite final de precisão.

• Corolários: Os métodos rendem limites melhorados sobre a distribuição de $\gcd(n, u_n)$ (Corolário 1.6) e fornecem uma nova prova analítica para o teorema principal em [25] referente à contagem de $n$ tal que $\gcd(n, u_n) = n$.

Significância e Alegações
O artigo afirma fazer "progressos cruciais" no problema dos momentos para $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$. Especificamente, ele:

1. Resolve as Conjecturas 3 e 5 de [29] no caso $a_2 = \pm 1$.
2. Resolve a conjectura principal de [13].
3. Melhora o limite incondicional de [2, Th. 1.3] via o limite de Lichtman.
4. Fornece um limite inferior correspondente para as conjecturas em [13] e [25].
5. Responde a um caso específico da Questão 1.1 e faz progresso na Questão 1.2 de [27].

Os autores observam que provar a assíntota condicional (Teorema 1.3) de forma incondicional é atualmente inviável, pois o limite inferior depende da distribuição de primos deslocados suaves, um problema ainda não resolvido sem assumir conjecturas como a de Elliott–Halberstam. O caso $a_2 = \pm 1$ é destacado como o cenário mais "interessante" e tratável para estes métodos.