The moments of split greatest common divisors

Résumé technique : Les moments du plus grand commun diviseur fractionné

Énoncé du problème
Cet article traite du comportement asymptotique des moments de la suite $(\gcd(n, u_n))_{n \in \mathbb{N}}$, où $(u_n)$ est une suite de Lucas non dégénérée. Bien que l'étude de $\gcd(u_n, v_n)$ pour les suites de divisibilité générales soit un problème difficile lié à de profondes conjectures en géométrie diophantienne (telles que la conjecture de Vojta), le cas spécifique de $\gcd(n, u_n)$ correspond aux suites de divisibilité issues du groupe algébrique $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$.

Des travaux antérieurs par Sanna ont établi les asymptotiques des moments logarithmiques $\sum_{n \le x} (\log \gcd(n, u_n))^\lambda$. Cependant, les moments de la suite elle-même, $\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda$, sont restés largement non résolus, avec seulement des bornes supérieures partielles disponibles (par exemple, par Mastrostefano). L'objectif principal est de déterminer des estimations asymptotiques précises pour ces moments, en fournissant à la fois des résultats inconditionnels et des résultats conditionnels basés sur des conjectures standards en théorie analytique des nombres.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison de théorie analytique des nombres, de propriétés des suites de Lucas et de constructions combinatoires impliquant des nombres lisses (smooth numbers).

1. Rang d'apparition et divisibilité : L'analyse repose sur le rang d'apparition $z(m)$, le plus petit $n$ tel que $m \mid u_n$. La condition $n' = \gcd(n'k, u_{n'k})$ est traduite en conditions impliquant $z(n')$ et la divisibilité de $n'k$. La somme est décomposée en fonction de paires $(n', k)$ où $n = n'k$.
2. Bornes supérieures : La borne supérieure inconditionnelle est dérivée en divisant le domaine de sommation selon les tailles de variables auxiliaires. Une composante critique consiste à borner le nombre d'entiers $n$ pour lesquels $\gcd(n, z(n))$ est grand. Cela utilise un résultat de Gordon et Pomerance concernant le décompte des entiers ayant un rang d'apparition fixé.
   • Pour la borne supérieure conditionnelle, les auteurs supposent la Conjecture 3.2, qui pose une estimation de densité plus forte pour les entiers ayant un rang d'apparition fixé, analogue aux bornes pour les pseudopremiers.
3. Bornes inférieures : La stratégie consiste à construire un grand sous-ensemble d'entiers $n$ tels que $n \mid u_n$ (noté $N_u(x)$).
   • Borne inférieure conditionnelle : Les auteurs construisent un ensemble d'entiers composés de nombres premiers décalés $p$ où $p - (\Delta/p)$ est lisse. Cela repose sur la Conjecture 4.2, une occurrence faible de la conjecture de Granville concernant la distribution des nombres premiers décalés lisses.
   • Borne inférieure inconditionnelle : Pour le cas spécifique où le coefficient $a_2 = \pm 1$, les auteurs utilisent un résultat récent de Lichtman sur la distribution des nombres premiers décalés lisses dans les progressions arithmétiques (Théorème 5.1). Cela permet de construire un ensemble suffisamment grand d'entiers $n$ divisant $u_n$ sans supposer de conjectures non prouvées.
4. Estimations intégrales : Pour passer de la cardinalité de l'ensemble $N_u(x)$ à la somme des moments, les auteurs appliquent le théorème intégral de Karamata et des arguments de sommation partielle.

Résultats clés

• Asymptotiques conditionnelles (Théorème 1.3) : En supposant les Conjectures 3.2 et 4.2, pour une suite de Lucas non dégénérée avec $a_2 = \pm 1$, les moments satisfont :
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda = x^{\lambda+1 - (1+o_\lambda(1)) \frac{\log \log \log x}{\log \log x}}$$
  Ceci résout le problème des moments pour $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$ sous des conjectures standards.

• Borne supérieure inconditionnelle (Théorème 1.4) : Pour toute suite de Lucas non dégénérée, les auteurs prouvent :
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda \le x^{\lambda+1 - (1/2+o_\lambda(1)) \frac{\log \log \log x}{\log \log x}}$$
  L'exposant $1/2$ est noté comme un artefact de la méthode actuelle.

• Borne inférieure inconditionnelle (Théorème 1.4) : Si $a_2 = \pm 1$, les auteurs établissent une borne inférieure :
  $$\sum_{n \le x} \gcd(n, u_n)^\lambda \ge x^{\lambda + 0.715}$$
  Ce résultat est dérivé du théorème de Lichtman sur les nombres premiers décalés lisses.

• Conjecture raffinée (Conjecture 1.5) : Sur la base de l'analogie avec les pseudopremiers de Lucas, les auteurs conjecturent une forme asymptotique plus précise impliquant un terme exponentiel avec des logarithmes itérés, suggérant que les bornes actuelles ne sont pas la limite finale de précision.

• Corollaires : Les méthodes permettent d'obtenir des bornes améliorées sur la distribution de $\gcd(n, u_n)$ (Corollaire 1.6) et fournissent une nouvelle preuve analytique du théorème principal de [25] concernant le décompte de $n$ tel que $\gcd(n, u_n) = n$.

Signification et affirmations
L'article affirme faire des « progrès cruciaux » sur le problème des moments pour $\mathbb{G}_a \times \mathbb{G}_m$. Plus précisément, il :

1. Résout les Conjectures 3 et 5 de [29] dans le cas $a_2 = \pm 1$.
2. Résout la conjecture principale de [13].
3. Améliore la borne inconditionnelle de [2, Th. 1.3] via la borne de Lichtman.
4. Fournit une borne inférieure concordante pour les conjectures de [13] et [25].
5. Répond à un cas spécifique de la Question 1.1 et progresse sur la Question 1.2 de [27].

Les auteurs notent que prouver l'asymptotique conditionnelle (Théorème 1.3) de manière inconditionnelle est actuellement infaisable, car la borne inférieure repose sur la distribution des nombres premiers décalés lisses, un problème non encore résolu sans supposer des conjectures telles que celle d'Elliott–Halberstam. Le cas $a_2 = \pm 1$ est mis en évidence comme le scénario le plus « intéressant » et le plus traitable pour ces méthodes.