$\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$-character stacks and Langlands duality over finite fields

Resumo Técnico: Pilhas de caracteres $PGL_n(\mathbb{C})$ e dualidade de Langlands sobre corpos finitos

Enunciado do Problema
Este artigo investiga os polinômios de Poincaré mistos de pilhas de caracteres genéricas de $PGL_n(\mathbb{C})$ associadas a uma superfície de Riemann pontuada. Embora a cohomologia das pilhas de caracteres de $GL_n$ e $SL_n$ tenha sido extensivamente estudada (notavelmente por Hausel, Letellier, Rodriguez-Villegas, Mellit e Schiffman), o caso de $PGL_n$ apresenta desafios únicos. Especificamente, as classes de conjugação de $PGL_n$ podem possuir estabilizadores não conexos, levando a sistemas locais equivariantes irredutíveis não triviais. Os autores visam calcular a cohomologia de interseção dessas pilhas com coeficientes nesses sistemas locais e estabelecer uma conexão entre esses invariantes geométricos e a teoria de representação dos grupos finitos $PGL_n(\mathbb{F}_q)$ e $SL_n(\mathbb{F}_q)$.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de teoria de representação geométrica, cohomologia de interseção e a teoria de feixes de caracteres. A metodologia central envolve:

1. Configuração Geométrica: Definir a pilha de caracteres $\mathcal{M}_C$ como o quociente de uma variedade de representações $X_C$ pela ação de $PGL_n$. Os autores analisam a geometria dessas pilhas, particularmente a estratificação induzida pelo fecho de Zariski das classes de conjugação e a ação de grupos finitos decorrentes das componentes conexas dos estabilizadores.
2. Cohomologia de Interseção Torcida: Para lidar com os estabilizadores desconexos, os autores introduzem um cenário "torcido" envolvendo a ação de um grupo finito $H(C)$ sobre pilhas de caracteres genéricas de $GL_n$. Eles generalizam os resultados de Katz sobre a contagem de pontos sobre corpos finitos para relacionar a característica de Euler da cohomologia de interseção da pilha com o traço de Frobenius na cohomologia da variedade correspondente sobre $\mathbb{F}_q$.
3. Dualidade de Langlands e Feixes de Caracteres: O artigo utiliza a teoria dos feixes de caracteres de Lusztig. Estabelece-se uma correspondência entre sistemas locais nas classes de conjugação de $PGL_n$ e feixes de caracteres no grupo dual $SL_n$. Isso envolve analisar os funtores de indução geométrica e a decomposição de feixes perversos sob restrição ao grupo dual.
4. Fórmulas Combinatórias: Os autores utilizam funções simétricas, especificamente polinômios de Macdonald e funções de gancho ($H_{g,\omega}$), para formular expressões conjecturais para as séries de Poincaré mistas. Eles derivam fórmulas explícitas para a "parte pura" (especialização $t \to -1$) e a especialização de Euler.

Principais Contribuições e Resultados

• Fórmula Conjetural para Séries de Poincaré Mistas: Os autores propõem uma fórmula combinatória conjectural (Conjectura 5.5.12) para a série de Poincaré mista $IH_c(\mathcal{M}_C, \mathcal{E}_\chi; q, t)$ da pilha de caracteres de $PGL_n$ com coeficientes em um sistema local $\mathcal{E}_\chi$ decorrente de um caractere $\chi$ do grupo estabilizador $A(C)$. A fórmula envolve uma soma sobre tipos combinatórios específicos ponderados por funções racionais $H_{g, \omega_r}$ e coeficientes $\Delta^s_\chi$.
• Prova sob Especialização de Euler: O teorema principal (Teorema 1.1.2 e Teorema 5.5.11) prova que a fórmula conjecturada é verdadeira sob a especialização de Euler ($t \to -1$). Este resultado conecta a geometria da pilha ao número de pontos sobre corpos finitos.
• Interpolação de Coeficientes de Estrutura: Um resultado central (Teorema 1.2.1 e Teorema 8.5.1) demonstra que o polinômio de Euler da pilha de caracteres interpola os coeficientes de estrutura de dois anéis baseados distintos:
  1. O anel de funções de classe em $PGL_n(\mathbb{F}_q)$ equipado com o produto de convolução, com uma base dada pelas funções características dos complexos de cohomologia de interseção de sistemas locais nas classes de conjugação.
  2. O anel de funções de classe em $SL_n(\mathbb{F}_q)$ equipado com a multiplicação pontual, com uma base dada pelas funções características dos feixes de caracteres de Lusztig em $SL_n$.
• Analogia com a Transformada de Fourier Não Abelian: A relação estabelecida entre o produto de convolução em $PGL_n(\mathbb{F}_q)$ e o produto tensorial em $SL_n(\mathbb{F}_q)$ é descrita como uma versão multiplicativa da fórmula de inversão de Fourier. Isso generaliza a imagem conhecida de $GL_n$, onde os feixes de caracteres correspondem diretamente aos caracteres irredutíveis, para a dualidade $SL_n/PGL_n$, onde a correspondência é mais intrincada devido aos estabilizadores desconexos.
• Verificação Explícita: A conjectura é verificada explicitamente para o caso $n=2$, $k=4$ (quatro ponturas) com classes de conjugação semissimples regulares (Teorema 1.1.3 e Teorema 9.5.2).

Significado
O artigo afirma fornecer uma estrutura geométrica unificada que une a cohomologia das pilhas de caracteres à teoria de representação de grupos redutivos finitos no contexto da dualidade de Langlands. Ao estender os resultados de $GL_n$ para $PGL_n$, os autores abordam a complexidade introduzida pelos estabilizadores não conexos. O trabalho sugere que a estrutura de Hodge mista desses espaços de módulos codifica informações aritméticas profundas relativas às constantes de estrutura dos anéis de caracteres para grupos finitos. Os autores observam que, embora a conjectura completa para o polinômio de Poincaré misto permaneça aberta, a especialização de Euler provada e o caso explícito $n=2$ fornecem fortes evidências para a validade das fórmulas propostas e do cenário de dualidade subjacente. Os resultados são apresentados como uma generalização do trabalho anterior de Hausel, Letellier e Rodriguez-Villegas, adaptando especificamente seus métodos ao cenário não genérico e de estabilizadores não conexos.