$\mathrm{PGL}_n(\mathbb{C})$-character stacks and Langlands duality over finite fields

技術的サマリー：有限体上の $PGL_n(\mathbb{C})$-特性スタックとラングランズ双対性

問題提起
本論文は、穴あきリーマン曲面に関連する一般的な $PGL_n(\mathbb{C})$-特性スタックの混合ポアンカレ多項式を調査する。$GL_n$ および $SL_n$ の特性スタックのコホモロジーは（特に Hausel、Letellier、Rodriguez-Villegas、Mellit、Schiffman によって）広範に研究されてきたが、$PGL_n$ の場合は独自の課題を呈する。具体的には、$PGL_n$ の共役類は非連結な安定化部分群を持つことがあり、それにより非自明な既約等変局所系が生じる。著者らは、これらの局所系を係数とするこれらのスタックの交わりコホモロジーを計算し、これらの幾何学的不変量と有限群 $PGL_n(\mathbb{F}_q)$ および $SL_n(\mathbb{F}_q)$ の表現理論との間の関係を確立することを目的としている。

手法
著者らは、幾何学的表現論、交わりコホモロジー、特性層の理論を組み合わせて用いる。核心的な手法は以下の通りである：

1. 幾何学的設定：特性スタック $\mathcal{M}_C$ を、表現多様体 $X_C$ の $PGL_n$ 作用による商として定義する。著者らは、これらのスタックの幾何学、特に共役類のザリスキ閉包によって誘導される層別化と、安定化部分群の非連結成分から生じる有限群の作用を解析する。
2. ねじれた交わりコホモロジー：非連結な安定化部分群に対処するため、著者らは一般的な $GL_n$-特性スタックに対する有限群 $H(C)$ の作用を含む「ねじれた」設定を導入する。$\mathbb{F}_q$ 上の点の数を数えることに関する Katz の結果を一般化し、スタックの交わりコホモロジーのオイラー標数を $\mathbb{F}_q$ 上の対応する多様体のコホモロジーにおけるフロベニウスの跡に関連付ける。
3. ラングランズ双対性と特性層：本論文は Lusztig の特性層の理論を利用する。$PGL_n$-共役類上の局所系と、双対群 $SL_n$ 上の特性層との間の対応を確立する。これには、幾何学的誘導関手と、双対群への制限下における偏り層の分解の解析が含まれる。
4. 組合せ論的公式：著者らは、対称関数、特にマクドナルド多項式とフック関数 ($H_{g,\omega}$) を用いて、混合ポアンカレ級数に対する仮説的な式を定式化する。彼らは、「純粋部分」（特殊化 $t \to -1$）およびオイラー特殊化に対する明示的な公式を導出する。

主要な貢献と結果

• 混合ポアンカレ級数に対する仮説的公式：著者らは、安定化部分群 $A(C)$ の指標 $\chi$ に由来する局所系 $\mathcal{E}_\chi$ を係数とする $PGL_n$-特性スタックの混合ポアンカレ級数 $IH_c(\mathcal{M}_C, \mathcal{E}_\chi; q, t)$ に対する仮説的な組合せ論的公式（予想 5.5.12）を提案する。この公式は、有理関数 $H_{g, \omega_r}$ と係数 $\Delta^s_\chi$ によって重み付けられた特定の組合せ論的タイプにわたる和を含む。
• オイラー特殊化における証明：主要定理（定理 1.1.2 および定理 5.5.11）は、予想された公式がオイラー特殊化（$t \to -1$）の下で成り立つことを証明する。この結果は、スタックの幾何学を有限体上の点の数と結び付ける。
• 構造係数の補間：中心的な結果（定理 1.2.1 および定理 8.5.1）は、特性スタックのオイラー多項式が、2 つの異なる基底付き環の構造係数を補間することを示す：
  1. 共役類上の局所系の交わりコホモロジー複体の特性関数を基底とする、積積を備えた $PGL_n(\mathbb{F}_q)$ 上の類関数の環。
  2. Lusztig の $SL_n$ 上の特性層の特性関数を基底とする、点ごとの乗法を備えた $SL_n(\mathbb{F}_q)$ 上の類関数の環。
• 非可換フーリエ変換のアナロジー：$PGL_n(\mathbb{F}_q)$ 上の積積と $SL_n(\mathbb{F}_q)$ 上のテンソル積との間に確立された関係は、フーリエ逆変換公式の乗法的バージョンとして記述される。これは、特性層が既約指標に直接対応する既知の $GL_n$ の図景を、非連結な安定化部分群により対応がより複雑になる $SL_n/PGL_n$ 双対性に一般化したものである。
• 明示的な検証：半単純正則共役類を持つ場合 $n=2$、$k=4$（4 つの穴）について、予想が明示的に検証される（定理 1.1.3 および定理 9.5.2）。

意義
本論文は、ラングランズ双対性の文脈において、特性スタックのコホモロジーと有限簡約群の表現理論を架橋する統合された幾何学的枠組みを提供すると主張する。$GL_n$ からの結果を $PGL_n$ に拡張することで、著者らは非連結な安定化部分群によって導入される複雑さに対処する。この研究は、これらのモジュライ空間の混合ホッジ構造が、有限群の指標環の構造定数に関する深い算術情報を符号化することを示唆する。著者らは、混合ポアンカレ多項式に関する完全な予想は未解決のままであるが、証明されたオイラー特殊化と明示的な $n=2$ のケースが、提案された公式および基礎となる双対性の図式の妥当性に対する強力な証拠を提供すると指摘する。結果は、Hausel、Letellier、および Rodriguez-Villegas による以前の作業の一般化として提示され、特に非一般的および非連結な安定化部分群の設定に彼らの手法を適応させたものである。