Data-Informed Mathematical Characterization of Absorption Properties in Artificial and Natural Porous Materials

Resumo Técnico: Caracterização Matemática Informada por Dados das Propriedades de Absorção em Materiais Porosos Artificiais e Naturais

Enunciado do Problema
A degradação do património cultural, particularmente edifícios históricos e sítios arqueológicos, é significativamente impulsionada pela infiltração de água em pedras naturais porosas e geomateriais artificiais. A água atua como transportadora de fluxos reativos, desencadeando processos destrutivos como cristalização de sais, penetração de poluentes e biocolonização. Embora a absorção capilar seja um mecanismo primário de degradação, existe uma falta de caracterizações matemáticas detalhadas para materiais específicos utilizados na restauração, particularmente argamassas de nova geração ecológicas e pedras naturais específicas, como a wackestone. A literatura existente descreve frequentemente estes materiais numa perspetiva minero-petrográfica, carecendo de modelação matemática rigorosa para prever a dinâmica de captação de água. Este trabalho aborda a necessidade de integrar dados experimentais com modelação matemática para caracterizar de forma fiável as propriedades de absorção destes materiais.

Metodologia
Os autores propõem um quadro informado por dados que combina experiências laboratoriais com um modelo de Equação Diferencial Parcial (EDP) e otimização numérica.

1. Configuração Experimental: Foram realizados ensaios de absorção capilar de água em pedras naturais (mármore de Carrara, travertino de Tivoli, wackestone) e geomateriais artificiais (argamassas hidráulicas baseadas em receitas romanas e argamassas aéreas com aditivos orgânicos/acrílicos). As amostras foram secas, parcialmente imersas em água destilada e pesadas em intervalos específicos para determinar a água absorvida por unidade de área ($Q_{data}$).
2. Modelação Matemática: O processo de imbibição é modelado utilizando uma equação de Richards unidimensional derivada da lei de Darcy. O modelo descreve a evolução da saturação do fluido $\theta(z,t)$ num meio poroso. Define-se uma função de absorção específica $B(s)$, onde $s$ é o nível de saturação. Esta função é parametrizada por:
   • Saturação residual ($s_R$) e saturação máxima ($s_S$).
   • Uma taxa de difusão ($D$).
   • Uma taxa de troca de água ($K_w$) na fronteira.
   • Porosidade do material ($n_0$).
3. Simulação Numérica: A EDP é resolvida utilizando um esquema do Método das Linhas (MOL). As derivadas espaciais são discretizadas utilizando diferenças finitas centrais de segunda ordem, e o sistema de EDO resultante é integrado utilizando uma aproximação de Heun de segunda ordem. Este esquema explícito demonstrou convergência quadrática e eficiência computacional superior em comparação com os esquemas padrão Forward-Time Central-Space (FTCS).
4. Pré-processamento de Dados: Para abordar erros instrumentais e não monotonicidades nos dados experimentais brutos (comuns em materiais naturais e argamassas de absorção rápida), emprega-se uma técnica de reconstrução diferencial que preserva a monotonicidade. Este método reformula o problema de ajuste de dados como uma otimização não restrita de uma função $w_f(t)$ num espaço de funções monótonas suaves, utilizando expansões truncadas de Legendre e regularização.
5. Calibração de Parâmetros (Problema Inverso): Os parâmetros ótimos do modelo são determinados minimizando um funcional de custo que compara a absorção total de fluido simulada ($Q_{num}$) com os dados experimentais/reconstruídos ($Q_{data}$). A função de perda combina:
   • Erro Euclidiano Relativo Quadrático (SRE) para desvios pontuais.
   • Erro de Warping Dinâmico de Tempo (DTW) para contabilizar desalinhamentos temporais.
   • Um termo de penalidade para discrepâncias no estado final.
   • A otimização é realizada utilizando um algoritmo de Otimização por Enxame de Partículas (PSO) potenciado por uma estratégia de multigrid (refinamento de grelha de grosseira a fina) para lidar com não linearidades e mínimos locais.

Principais Contribuições

• Quadro Integrado: O artigo apresenta um fluxo de trabalho inovador que liga ensaios laboratoriais de absorção capilar a um modelo de EDP calibrado, especificamente adaptado tanto para pedras naturais como para argamassas modernas de restauração.
• Reconstrução que Preserva a Monotonicidade: Introduz-se uma nova técnica de ajuste diferencial para pré-processar dados experimentais. Este método reduz o ruído e os erros instrumentais, enquanto impõe estritamente a restrição física de que a captação de água deve ser não decrescente, sem perder o conteúdo de informação das medições originais.
• Estratégia de Otimização Robusta: O desenvolvimento de uma abordagem de calibração baseada em PSO com multigrid permite a estimativa eficiente e robusta dos parâmetros do modelo ($s_R, s_S, D, K_w, n_0$), mesmo na presença de funções objetivo complexas e não suaves.
• Caracterização de Materiais: O estudo fornece parâmetros calibrados específicos para um conjunto diversificado de materiais, incluindo wackestone e argamassas aéreas ecológicas (GS, GSN, GSP), que não tinham sido anteriormente caracterizados matematicamente desta forma.

Resultados

• Precisão do Modelo: Os modelos calibrados reproduzem com sucesso a dinâmica de imbibição para a maioria dos materiais. O uso combinado de erros SRE e DTW no funcional de custo equilibra eficazmente as diferenças de amplitude e forma, resultando em valores baixos da função objetivo em todos os materiais testados.
• Anisotropia no Travertino: Observou-se uma discrepância notável nas amostras de travertino. Ao classificar as amostras com base na orientação dos planos de anisotropia (paralelos vs. perpendiculares ao fluxo de água), os autores alcançaram conjuntos de parâmetros distintos para cada classe. Isto destaca a sensibilidade do modelo à anisotropia estrutural, que não é modelada explicitamente na EDP 1D, mas é capturada através da diferenciação de parâmetros.
• Desempenho: O esquema numérico MOL demonstrou desempenho superior e convergência quadrática em comparação com os métodos FTCS. O procedimento de reconstrução suavizou eficazmente o ruído experimental, preservando a monotonicidade física das curvas de absorção.
• Intervalos de Parâmetros: O estudo produziu taxas de difusão e níveis de saturação específicos para cada material. Por exemplo, as argamassas hidráulicas (OT) apresentaram alta porosidade (33,5%–44,3%) e taxas de difusão variáveis, enquanto as pedras naturais exibiram porosidade mais baixa e comportamentos de saturação distintos.

Significado e Afirmações
Os autores afirmam que este trabalho fornece uma ferramenta realista e fiável para caracterizar as propriedades de absorção de água de materiais de construção relevantes para o património cultural. Ao ir além da análise petrográfica puramente descritiva para uma abordagem matemática quantitativa, o estudo oferece perspetivas valiosas sobre os mecanismos de degradação. A metodologia proposta é apresentada como uma ferramenta versátil para o estudo e preservação do património cultural, capaz de lidar com geomateriais naturais e artificiais. O artigo sugere modestamente que, embora o modelo 1D atual seja eficaz, trabalhos futuros poderiam incorporar anisotropia e permeabilidade heterogénea para refinar ainda mais a representação de materiais complexos como o travertino. O objetivo final é implementar estas técnicas como ferramentas de diagnóstico e previsão para esforços de conservação no mundo real.