A counting argument for the geometric Bombieri-Lang conjecture on ramified covers of abelian varieties

1. O Problema: A Conjectura de Bombieri–Lang Geométrica

O artigo aborda a Conjectura de Bombieri–Lang no contexto de corpos de funções (geometria aritmética sobre corpos de funções). Esta conjectura é uma generalização de dimensão superior da famosa Conjectura de Mordell (prova por Faltings), que afirma que variedades hiperbólicas têm um conjunto finito de pontos racionais.

Especificamente, o foco é a versão geométrica sobre corpos de funções de característica 0. A conjectura prevê que, para uma variedade projetiva $X$ definida sobre um corpo de funções $K$, o conjunto de pontos racionais $X(K)$ não é denso de Zariski em $X$, a menos que $X$ contenha subvariedades "especiais" (como imagens de variedades abelianas). O conjunto especial algébrico, denotado por $\text{Sp}(X)$, é o fecho de Zariski da união das imagens de todas as aplicações racionais não constantes de variedades abelianas para $X$.

O Desafio Específico:
O trabalho anterior de Xie e Yuan ([XYa], [XYb]) provou casos importantes desta conjectura para variedades que possuem um mapa finito para uma variedade abeliana $A$, mas sob duas restrições fortes:

1. Hipótese de Hiperbolicidade: $X$ é hiperbólica (ou seja, $\text{Sp}(X) = \emptyset$).
2. Hipótese de Rastreamento Nulo (Traceless): O "rastro" de Chow de $A$ sobre o corpo base $k$ é trivial ($A(K/k) = 0$).

O objetivo deste artigo é remover ambas as condições, provando a conjectura para qualquer variedade projetiva $X$ com um mapa finito para uma variedade abeliana $A$, independentemente de ser hiperbólica ou de ter um rastro não trivial. A presença de um rastro não trivial cria dificuldades essenciais, pois permite a existência de "partes constantes" não triviais que complicam a análise de pontos racionais.

2. Metodologia e Estratégia Principal

A prova constrói sobre a estratégia de construção de curvas inteiras lineares utilizada por Xie e Yuan, mas introduz uma nova técnica de contagem baseada na Teoria de Nevanlinna e geometria algébrica avançada.

A. Reduções Algébrico-Geométricas

O autor primeiro reduz o problema geral a um caso mais manejável (Proposição 1.4/3.1):

• Assume-se que $X$ é de tipo geral e possui um mapa finito para $A \times_K T_K$, onde $T$ é uma variedade projetiva sobre o corpo base $k$ (representando a parte constante).
• Considera-se uma sequência genérica de pontos racionais $\{x_n\} \subset X(K)$.
• O objetivo é provar que, se a projeção de $x_n$ em $T_K(K)$ cai na imagem de $T(k)$, então a altura de Weil de $\{x_n\}$ é limitada. Se a altura fosse ilimitada, isso levaria a uma contradição.

B. A Ideia Central: O Argumento de Contagem

Diferentemente dos trabalhos anteriores que focavam na posição das curvas inteiras em relação ao conjunto especial $\text{Sp}(X)$, este artigo foca no divisor de ramificação $R$ do mapa finito $f: X \to A \times_K T_K$.

1. Positividade do Divisor de Ramificação: Como $X$ é de tipo geral, o divisor canônico $K_X$ é "grande" (big). Pela fórmula de Hurwitz, $K_X \sim f^* K_{A \times T} + R$. Como a restrição de $K_{A \times T}$ às fibras é trivial, $R$ herda a positividade de $K_X$ nas fibras.
2. Interações e Tangência: Se a altura dos pontos $x_n$ tende ao infinito, as seções correspondentes $x_n: B \to X$ devem interagir com o divisor de ramificação $R$ em "muitos" pontos.
3. O Limite: Ao passar para o limite (reparametrizando as seções para obter curvas inteiras lineares $\phi_\infty$), a positividade de $R$ implica que a curva limite deve ser tangente ao divisor de ramificação reduzido $D_{red}$ (imagem de $R$) em um número "excessivo" de pontos.
4. A Contradição: A Teoria de Nevanlinna (especificamente o Segundo Teorema Principal de Yamanoi para variedades abelianas) estabelece que uma curva inteira em uma variedade abeliana não pode ser tangente a um divisor reduzido em uma proporção positiva de pontos, a menos que a curva esteja contida no divisor. Como a curva limite não está contida no divisor (devido à escolha genérica), surge uma contradição.

C. Superação de Dificuldades Técnicas

O autor identifica e resolve três obstáculos técnicos principais que impediam a aplicação direta da estratégia anterior:

1. Não-redutibilidade da Fibra Limite ($D_{red}$ não reduzido):

   • Problema: A fibra limite do divisor de ramificação pode não ser reduzida, tornando a tangência trivial.
   • Solução: O autor prova um Lema Chave (Lema 3.7) sobre o comportamento de limites de espaços tangentes em famílias de esquemas. Ele mostra que, para um conjunto aberto denso de pontos, o limite dos espaços tangentes das fibras reduzidas está contido no espaço tangente da fibra reduzida limite. Isso permite controlar a tangência mesmo quando a fibra limite é não reduzida.

2. Não-platicidade de $D$ sobre $T$:

   • Problema: O divisor de ramificação pode conter fibras inteiras $A \times \{t_\infty\}$, tornando a tangência trivial novamente.
   • Solução: Utiliza-se um Teorema de Redução Semi-estável Fraca (baseado em [AK00]). Realiza-se uma modificação birracional do espaço base $T$ para obter uma nova família onde todas as fibras são reduzidas. Como os pontos $t_n$ são constantes em $T(\mathbb{C})$, as seções podem ser levantadas para esta nova família, permitindo que a análise de tangência funcione.

3. Singularidades de $X$:

   • Problema: Se $X$ não for suave, o divisor de ramificação $R$ pode não ser $\mathbb{Q}$-Cartier, dificultando a definição de números de interseção.
   • Solução: Utiliza-se o Modelo Canônico de $X$ (do Programa de Modelos Mínimos). O modelo canônico tem singularidades suaves (dlt) e um divisor canônico $\mathbb{Q}$-Cartier e amplo. O Teorema de Extensão de Hacon-McKernan garante que, se $X$ não contém curvas racionais (o que é verdade para coberturas finitas de variedades abelianas), existe um morfismo birracional do modelo canônico para $X$, permitindo trabalhar com interseções bem definidas.

3. Resultados Principais

Teorema Principal (Teorema 1.1):
Seja $K$ um corpo de funções sobre um corpo $k$ de característica 0. Seja $X$ uma variedade projetiva sobre $K$ que admite um mapa finito para uma variedade abeliana $A$ sobre $K$. Seja $Z$ o fecho de Zariski dos pontos racionais fora do conjunto especial, $(X \setminus \text{Sp}(X))(K)$.
Então, existe um conjunto finito de subvariedades fechadas $\{Z_1, \dots, Z_r\}$ de $Z$ tais que:

1. A normalização de cada $Z_i$ é constante (isomorfa a $T_i \times_k K$ para alguma variedade projetiva $T_i$ sobre $k$).
2. O conjunto de pontos racionais $(X \setminus \text{Sp}(X))(K)$ está contido na união das imagens dos pontos $k$-racionais dessas variedades constantes.

Corolário 1.2:
Recupera o resultado de Xie-Yuan para o caso de rastro nulo e generaliza para o caso de rastro não nulo. Se $X$ é de tipo geral e $A$ não é definida sobre $k$, então $X(K)$ não é denso de Zariski em $X$. Se o rastro de $A$ é trivial, então $(X \setminus \text{Sp}(X))(K)$ é finito.

Teorema 1.3 (Dimensão Albanese Maximal):
Prova uma versão da conjectura para variedades de tipo geral com dimensão Albanese maximal, mostrando que se os pontos racionais são densos, a variedade é birracional a uma variedade constante definida sobre o corpo base.

4. Contribuições Chave

1. Remoção de Hipóteses Restritivas: É a primeira prova completa da conjectura geométrica de Bombieri–Lang para coberturas ramificadas de variedades abelianas sem assumir hiperbolicidade ou rastro nulo.
2. Novo Argumento de Contagem: A introdução de uma estimativa baseada na contagem de interseções com o divisor de ramificação, em vez de apenas com o conjunto especial, oferece uma nova perspectiva técnica.
3. Integração de Teorias: O trabalho funde de maneira sofisticada a Teoria de Nevanlinna (funções de contagem, curvas inteiras, limites de Brody) com a Geometria Algébrica de Dimensão Superior (Modelos Canônicos, Teoremas de Redução Semi-estável, Teorema de Extensão de Hacon-McKernan).
4. Lema de Limites de Tangentes (Lema 3.7): Um resultado técnico independente sobre a estabilidade de espaços tangentes em famílias de esquemas, que pode ter aplicações em outros problemas de geometria aritmética e complexa.

5. Significância

Este trabalho representa um avanço significativo na Geometria Arithmética e na Teoria de Nevanlinna. Ao remover as condições de hiperbolicidade e rastro nulo, o autor unifica e generaliza resultados fragmentados anteriores, fornecendo uma estrutura mais robusta para entender a distribuição de pontos racionais em variedades que não são hiperbólicas estritas.

A prova demonstra que a estrutura algébrica das variedades abelianas e suas coberturas impõe restrições fortes sobre a densidade de pontos racionais, mesmo na presença de "partes constantes" não triviais. O método desenvolvido, especialmente o uso do modelo canônico para contornar singularidades e o lema de limites de tangentes, estabelece novas ferramentas que provavelmente serão utilizadas em futuras investigações sobre a Conjectura de Lang e problemas relacionados de finitude de pontos racionais.