A counting argument for the geometric Bombieri-Lang conjecture on ramified covers of abelian varieties

1. Contexte et Problématique

Conjecture de Bombieri–Lang géométrique :
La conjecture de Bombieri–Lang, généralisation multidimensionnelle de la conjecture de Mordell (prouvée par Faltings), prédit que pour une variété projective $X$ de type général définie sur un corps de fonctions $K$, l'ensemble des points rationnels $X(K)$ n'est pas dense de Zariski, à moins que $X$ ne provienne d'une structure constante (liée au corps de base $k$). Plus précisément, les points rationnels hors de l'ensemble spécial algébrique $\text{Sp}(X)$ devraient être contenus dans un nombre fini de sous-variétés constantes.

État de l'art et lacunes :
Récemment, Xie et Yuan ont prouvé cette conjecture pour les variétés admettant un morphisme fini vers une variété abélienne $A$, mais sous deux hypothèses restrictives :

1. La variété $X$ est hyperbolique (c'est-à-dire $\text{Sp}(X) = \emptyset$).
2. La trace de Chow $A(K/k)$ de la variété abélienne $A$ est triviale (égale à 0).

Le problème central :
L'article vise à éliminer ces deux hypothèses. Le cas où la trace $A(K/k)$ est non triviale pose des difficultés essentielles, car l'image de l'ensemble spécial $\text{Sp}(X)$ dans la variété abélienne peut contenir des fibres entières, rendant inefficace la stratégie précédente basée sur la construction de courbes entières linéaires évitant l'ensemble spécial.

2. Résultat Principal

Théorème 1.1 :
Soit $K$ un corps de fonctions de caractéristique 0, $X$ une variété projective admettant un morphisme fini $f: X \to A$ vers une variété abélienne $A$. Soit $Z$ l'adhérence de Zariski de $(X \setminus \text{Sp}(X))(K)$ dans $X$.
Alors, il existe un nombre fini de sous-variétés fermées distinctes $\{Z_1, \dots, Z_r\}$ de $Z$ telles que :

1. La normalisation $Z'_i$ de chaque $Z_i$ est constante (isomorphe à $T_i \times_k K$ pour une variété projective $T_i$ sur $k$).
2. L'ensemble des points rationnels $(X \setminus \text{Sp}(X))(K)$ est contenu dans l'union des images des points $k$-rationnels de ces variétés constantes $T_i(k)$.

Ce résultat généralise les travaux de Xie-Yuan et confirme la conjecture pour les revêtements ramifiés de variétés abéliennes sans hypothèse d'hyperbolicité ni de trace nulle.

3. Méthodologie et Stratégie de Preuve

La preuve repose sur une argument de comptage (counting argument) combinant la théorie de Nevanlinna et la géométrie algébrique, s'éloignant de la stratégie purement géométrique des travaux antérieurs.

A. Réduction à la borne de hauteur

L'objectif central est de prouver la Proposition 1.4 : Pour une suite générique de points rationnels $\{x_n\}$ dans $X(K)$, si leur image dans la partie constante $T_K$ provient de $T(k)$, alors la hauteur de Weil de $\{x_n\}$ est bornée. La preuve se fait par l'absurde en supposant une hauteur non bornée.

B. Construction de courbes entières linéaires

En suivant la stratégie de Xie-Yuan, la non-bornitude de la hauteur permet de construire, via un procédé de re-paramétrisation (type Brody), une courbe entière linéaire $\phi_\infty$ dans une fibre $A \times \{t_\infty\}$ de la variété abélienne. Cette courbe est la limite d'une sous-suite des sections rationnelles.

C. L'Argument de Comptage (Nouvelle Contribution)

Contrairement aux travaux précédents qui étudiaient la position de la courbe entière par rapport à l'ensemble spécial $\text{Sp}(X)$, l'auteur se concentre sur le diviseur de ramification $R$ du morphisme $f$.

1. Positivité : Comme $X$ est de type général, le diviseur canonique $K_X$ est gros. Par la formule de Hurwitz, le diviseur de ramification $R$ est également gros sur les fibres.
2. Tangence : Si la hauteur tend vers l'infini, les sections $\{x_n\}$ intersectent $R$ en un nombre croissant de points. Par un argument de tangence (Proposition 1.7), cela implique que les sections $(s_n, t_n)$ dans $A \times T$ sont tangentes au diviseur branché $D = f(R)$ en un nombre croissant de points.
3. Contre-exemple asymptotique : À la limite, la courbe entière $\phi_\infty$ devrait être tangente au diviseur réduit $(D_{t_\infty})_{\text{red}}$ en un nombre "excessif" de points. Or, selon le théorème de Yamanoi (Second Main Theorem pour les variétés abéliennes), une courbe entière linéaire ne peut être tangente à un diviseur réduit (qui ne la contient pas) qu'en un nombre négligeable de points par rapport à sa croissance caractéristique.

4. Difficultés Techniques et Résolutions

L'auteur identifie et résout trois obstacles majeurs pour rendre cet argument rigoureux :

1. Non-réduité de la fibre limite :

   • Problème : La fibre limite $(D_{\text{red}})_{t_\infty}$ pourrait être non réduite, rendant la notion de tangence triviale.
   • Solution : Le Lemme 3.7 (Lemme clé). Il établit que pour une suite de points tendant vers une limite, l'espace tangent de la fibre réduite limite est la limite des espaces tangents des fibres réduites précédentes, à l'exception d'un ensemble de mesure nulle. Cela permet de garantir que la tangence observée sur les sections se transmet bien à la courbe entière limite sur la fibre réduite.

2. Non-plate de $D$ sur $T$ :

   • Problème : Le diviseur $D$ pourrait contenir toute la fibre $A \times \{t_\infty\}$, rendant la tangence triviale.
   • Solution : Utilisation d'un théorème de réduction semi-stable faible (AK00). On effectue un changement de base $T' \to T$ et une modification birationnelle pour rendre les fibres réduites. Comme les points $t_n$ sont constants (dans $T(k)$), les sections peuvent être relevées dans ce nouveau modèle, transformant le problème en un cas où le diviseur est "horizontal" et ne contient pas la fibre entière.

3. Singularités de $X$ :

   • Problème : Si $X$ est singulier, le diviseur de ramification $R$ n'est pas nécessairement $\mathbb{Q}$-Cartier, ce qui empêche de définir correctement les nombres d'intersection.
   • Solution : Utilisation du modèle canonique $X_{\text{can}}$ issu du programme minimal (MMP). $X_{\text{can}}$ possède des singularités douces (dlt) et un diviseur canonique $\mathbb{Q}$-Cartier ample. Le théorème d'extension de Hacon-McKernan permet de relier $X$ à $X_{\text{can}}$ via un morphisme birationnel, permettant de travailler sur un modèle où les intersections sont bien définies.

5. Outils Mathématiques Clés

• Théorie de Nevanlinna : Utilisation des fonctions de comptage $N(r, f, Z)$, de proximité $m(r, f, D)$ et de caractéristique $T(r, f, L)$. L'auteur étend ces concepts aux applications holomorphes définies sur des disques ouverts (pour les sections re-paramétrées) et analyse leur comportement asymptotique et limite.
• Théorème Second de Yamanoi : Utilisé pour borner supérieurement le nombre de points de tangence d'une courbe entière linéaire avec un diviseur réduit sur une variété abélienne.
• Géométrie Algébrique : Théorèmes de réduction semi-stable, programme minimal (MMP), théorème de flattening de Raynaud-Gruson, et propriétés de la trace de Chow.

6. Signification et Impact

• Généralisation majeure : Ce travail lève les restrictions d'hyperbolicité et de trace nulle, couvrant ainsi le cas général des revêtements ramifiés de variétés abéliennes sur les corps de fonctions.
• Nouvelle méthode : L'introduction de l'argument de comptage basé sur le diviseur de ramification plutôt que sur l'ensemble spécial offre une nouvelle perspective puissante pour attaquer les conjectures de type Lang.
• Rigueur technique : La résolution des problèmes liés aux singularités et à la non-réduité des fibres limite démontre une maîtrise fine de l'interaction entre la géométrie algébrique moderne et l'analyse complexe (Nevanlinna).

En résumé, Guoquan Gao prouve que la structure des points rationnels sur les revêtements ramifiés de variétés abéliennes est contrôlée par des sous-variétés constantes, même en présence de traces non triviales, en utilisant une combinaison ingénieuse de théorie de Nevanlinna et de géométrie birationnelle.