Goodness-of-Fit Tests for Censored and Truncated Data: Maximum Mean Discrepancy Over Regular Functionals

Resumo Técnico: Testes de Bondade de Ajuste para Dados Censurados e Truncados

Título Original: Goodness-of-Fit Tests for Censored and Truncated Data: Maximum Mean Discrepancy Over Regular Functionals
Autores: Juan Carlos Escanciano e Jacobo de Uña-Álvarez (Fevereiro de 2026)

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1. O Problema

O artigo aborda o desafio de realizar testes de bondade de ajuste (Goodness-of-Fit - GOF) para modelos distributivos paramétricos quando a variável de interesse $X$ não é observada integralmente devido a mecanismos de censura e/ou truncamento.

Em designs de dados incompletos, os métodos clássicos baseados no Estimador de Máxima Verossimilhança Não Paramétrico (NPMLE) enfrentam sérias limitações:

• Instabilidade e Não Existência: O NPMLE pode não existir, não ser único ou ser computacionalmente instável.
• Taxas de Convergência Lentas: A convergência do NPMLE pode ser lenta demais para permitir uma calibração confiável de testes sob hipóteses nulas compostas.
• Viés de Seleção: Mecanismos de truncamento (especialmente o truncamento duplo) introduzem vieses de seleção que contaminam estatísticas de GOF ingênuas.

2. Metodologia Proposta

Os autores propõem uma abordagem sistemática e "omnibus" (que detecta diversas formas de desvio do modelo) baseada em dois pilares fundamentais:

A. Processo de Score Ortogonal (Neyman-Orthogonal):
Em vez de comparar o modelo paramétrico a um estimador não paramétrico (como o Kaplan-Meier), os autores caracterizam a hipótese nula $H_0$ através de restrições de momentos indexadas por funções de teste $\phi$. Para lidar com hipóteses nulas compostas e parâmetros de confusão (nuisance parameters), eles constroem um processo de score ortogonal $\Pi_\perp$. A ortogonalidade de Neyman garante que o processo seja localmente insensível aos erros de estimação dos parâmetros de confusão, permitindo que o teste seja válido mesmo quando os parâmetros não são conhecidos.

B. Agregação via RKHS e MMD:
Para tornar o teste "omnibus", os autores agregam o processo de score sobre uma bola unitária de um Espaço de Hilbert de Núcleo Reproduzível (RKHS). Isso resulta em uma estatística do tipo Maximum Mean Discrepancy (MMD).
Uma contribuição técnica crucial é que essa estatística possui uma representação em forma quadrática (V-statistic):
$$\hat{Q}_K = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \hat{K}_\perp(Z_i, Z_j)$$
Essa forma permite que o teste seja computacionalmente eficiente e escalável. Para a calibração dos valores críticos, utilizam o multiplier bootstrap, que é vantajoso por não exigir a reestimação dos parâmetros de confusão em cada resample.

3. Principais Contribuições

1. Template Geral de Teste: Um framework teórico que funciona para uma ampla classe de mecanismos de dados incompletos via funcionais regulares.
2. Primeiro Teste para Truncamento Duplo Aleatório: O artigo apresenta, até onde os autores sabem, o primeiro teste omnibus para famílias paramétricas sob truncamento duplo aleatório no caso de hipótese nula composta.
3. Eficiência Computacional: A transformação do problema em uma forma quadrática com núcleo induzido ($\hat{K}_\perp$) simplifica drasticamente a implementação prática.
4. Teoria Assintótica: Estabelecimento da validade assintótica sob a hipótese nula e sob alternativas locais (Pitman-type), garantindo que o teste tenha poder estatístico consistente.

4. Resultados e Aplicações

• Simulações (Truncamento Duplo): Os experimentos demonstram que o teste mantém o nível de significância ($\alpha$) desejado e que o poder do teste aumenta conforme o tamanho da amostra cresce ou a distância para a hipótese nula aumenta. Observou-se que o poder diminui conforme o truncamento se torna mais severo, o que é esperado devido à perda de informação.
• Ilustração Empírica (Dados de Quasares): Os autores aplicaram o método a dados astronômicos de luminosidade de quasares (que sofrem truncamento duplo). O teste foi capaz de fornecer um p-valor que permitiu avaliar a adequação de um modelo exponencial, demonstrando utilidade em cenários onde a estimativa não paramétrica é inerentemente ruidosa.

5. Significância

Este trabalho é significativo por fornecer uma alternativa robusta e teoricamente sólida aos métodos baseados em NPMLE. Ao evitar a dependência de estimadores não paramétricos instáveis e utilizar a ortogonalidade de Neyman, os autores oferecem uma ferramenta que é simultaneamente teoricamente rigorosa (válida para hipóteses compostas e mecanismos complexos) e praticamente viável (computacionalmente eficiente via forma quadrática). O método preenche uma lacuna importante na análise de sobrevivência e econometria, onde dados censurados e truncados são a norma.