Goodness-of-Fit Tests for Censored and Truncated Data: Maximum Mean Discrepancy Over Regular Functionals

1. 背景と問題設定 (Problem)

生存時間解析などの分野では、関心のある変数 $X$ が直接観測できず、検閲（例：追跡不能）や切断（例：特定の期間内に観測されたデータのみが対象となる）によって、データが部分的にしか得られないことが一般的です。

従来の適合度検定（コルモゴロフ・スミルノフ検定など）は、非パラメトリック最大尤度推定量（NPMLE）を用いて分布関数を推定し、それを仮説モデルと比較する手法が主流でした。しかし、不完全データの設定では以下の問題が発生します：

• NPMLEの不安定性: NPMLEが存在しない、あるいは一意でない場合がある。
• 収束速度の遅さ: NPMLEの収束が遅いため、検定統計量の較正（Calibration）が困難。
• 計算コスト: 複合仮説（パラメータが未知の場合）において、ブートストラップ法を用いる際に毎回NPMLEを再推定する必要があり、計算負荷と理論的な不安定さが大きい。

2. 提案手法 (Methodology)

著者らは、NPMLEを直接推定するのではなく、**「正則な関数（Regular Functionals）」と「再生核ヒルベルト空間（RKHS）」**を用いた新しいアプローチを提案しています。

① 正則なスコア過程とNeyman直交性

仮説 $H_0: F \in \{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ を、テスト関数 $\phi$ でインデックス付けされたモーメント制約 $E[g_\phi(Z; \theta, G)] = 0$ として特徴付けます。ここで $Z$ は観測データ、$G$ は検閲・切断メカニズムに関する未知の関数です。
この際、パラメータ $\theta$ や未知の $G$ の推定誤差に対して感度が低い（局所的に鈍感な）Neyman直交スコア過程 $\Pi_\perp^\phi(Z)$ を構築します。これにより、パラメータの推定誤差が検定統計量に与える影響を最小限に抑えることができます。

② RKHSによる集約とMMD型統計量

単一のテスト関数ではなく、RKHSの単位球内のすべての関数 $\phi$ にわたってスコアを集約することで、検定の検出力を高めた「包括的（Omnibus）」な統計量を構築します。
具体的には、**最大平均偏差（Maximum Mean Discrepancy: MMD）型の統計量 $\hat{Q}_K$ を導出します。この統計量は、以下の形式の二次形式（V-statistic）**として簡潔に表現できるため、計算が非常に効率的です。
$$\hat{Q}_K = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \hat{K}_\perp^g(Z_i, Z_j)$$

③ マルチプライヤー・ブートストラップ

検定の棄却限界値を決定するために、マルチプライヤー・ブートストラップを用います。Neyman直交性を利用しているため、ブートストラップの各サンプル内で未知のパラメータ（$\theta$ や $G$）を再推定する必要がなく、計算が極めて高速かつ安定しています。

3. 主な貢献 (Key Contributions)

1. 汎用的なテンプレートの提供: 検閲・切断を含む不完全データに対し、正則な関数を用いた包括的なGOF検定の体系的な枠組みを構築した。
2. ランダム二重切断（Random Double Truncation）への対応: 非常に困難な設定である「二重切断」かつ「複合仮説（パラメータ未知）」の場合において、世界初となる包括的なGOF検定を提示した。
3. 計算効率の向上: 統計量を二次形式（V-statistic）として表現することで、大規模データへのスケーラビリティを確保した。
4. 理論的保証: 帰無仮説下および局所的な対立仮説下での漸近妥当性と検出力を数学的に証明した。

4. 結果と意義 (Results and Significance)

• シミュレーション結果: ランダム二重切断の設定において、検定のサイズ（第一種の過誤）が適切に制御されており、切断が強まると情報量が減少して検出力が低下するという、現実的な挙動を示すことが確認された。
• 実データへの適用: クエーサー（準星）の光度データ（二重切断データ）に適用した結果、指数分布モデルの適合性を評価することに成功した。
• 意義: 本研究は、従来のNPMLEベースの手法が抱えていた「理論的な不安定さ」と「計算上の重さ」という二つの大きな壁を、半パラメトリックなスコア理論とカーネル法を組み合わせることで克服した点に大きな意義があります。これにより、複雑な観測メカニズムを持つ実世界のデータに対して、より信頼性の高い統計的判断が可能になります。