Résumé Technique : Tests de Bonne-Adéquation pour Données Censurées et Tronquées via le Maximum Mean Discrepancy (MMD) sur des Fonctionnelles Régulières

1. Problématique

En analyse de survie, en épidémiologie ou en économétrie, l'objet d'intérêt (une variable de temps $X$) est souvent partiellement observé en raison de mécanismes de censure ou de troncation. Le défi majeur réside dans la validation d'un modèle paramétrique $H_0 : F \in \{F_\theta : \theta \in \Theta\}$ lorsque les données sont incomplètes.

Les approches classiques reposent généralement sur l'estimateur de maximum de vraisemblance non paramétrique (NPMLE), comme l'estimateur de Kaplan-Meier ou d'Efron-Petrosian. Cependant, ces méthodes souffrent de plusieurs limites critiques :

• Instabilité numérique et non-existence du NPMLE dans certains modèles complexes.
• Taux de convergence lents, rendant la calibration des tests difficile.
• Difficultés de bootstrap : le ré-estimage des paramètres de nuisance à chaque échantillon de bootstrap est coûteux et théoriquement fragile, surtout sous des hypothèses composites.

2. Méthodologie proposée

Les auteurs proposent une approche systématique et "omnibus" (capable de détecter tout type de déviation) qui évite l'utilisation du NPMLE comme objet intermédiaire. La méthode repose sur deux piliers mathématiques :

A. Processus de score Neyman-orthogonal

Au lieu de comparer directement des estimateurs de fonctions de répartition, les auteurs caractérisent l'hypothèse nulle par des restrictions de moments via un processus de score. Pour gérer les hypothèses composites et les paramètres de nuisance (comme la loi de la censure), ils construisent un processus de score Neyman-orthogonal $\Pi^\perp_\phi$.
L'orthogonalité garantit que l'influence des erreurs d'estimation des paramètres de nuisance est de l'ordre de $o_P(n^{-1/2})$, ce qui permet de réaliser un bootstrap de multiplicateur sans avoir à ré-estimer les paramètres de nuisance à chaque itération.

B. Agrégation par RKHS et forme quadratique

Pour obtenir un test omnibus, le processus de score est agrégé sur une classe de fonctions riche, indexée par une boule unité d'un Espace de Hilbert à Noyau Reproduisant (RKHS) $\mathcal{H}_K$.
Leur contribution majeure est la démonstration que le supremum de ce processus (de type Maximum Mean Discrepancy - MMD) peut être représenté sous une forme quadratique simple (une statistique de type $V$-statistic) :
$$\hat{Q}_K = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \hat{K}^\perp_g(Z_i, Z_j)$$
où $\hat{K}^\perp_g$ est un noyau induit. Cette représentation rend la méthode extrêmement efficace sur le plan computationnel et scalable.

3. Contributions clés

1. Nouveau cadre théorique : Un template général de test de bonne-adéquation pour données incomplètes via des fonctionnelles régulières (différentiables au sens de la trajectoire).
2. Premier test omnibus pour la double troncation aléatoire : Les auteurs fournissent, à leur connaissance, le premier test omnibus pour une famille paramétrique sous le régime de la double troncation aléatoire dans le cas d'une hypothèse composite.
3. Efficacité computationnelle : Grâce à la forme quadratique, le test est facile à implémenter et ne nécessite pas de ré-estimation complexe lors du bootstrap.
4. Théorie asymptotique robuste : Établissement de la validité asymptotique sous l'hypothèse nulle et sous les alternatives locales (Pitman), ainsi que la preuve de la consistance globale.

4. Résultats et Applications

• Simulations (Double Troncation) : Les tests montrent un excellent contrôle de la taille (le risque de faux positifs est respecté) et une puissance qui augmente avec la taille de l'échantillon, bien que la puissance diminue lorsque la troncation devient plus sévère (perte d'information).
• Illustration empirique (Données de Quasars) : Les auteurs appliquent le test à des données d'astronomie (luminosité des quasars) soumises à une double troncation. Le test permet de rejeter ou d'accepter le modèle exponentiel avec une précision que les méthodes NPMLE classiques peinent à fournir en raison du bruit induit par la sélection.

5. Signification et Impact

Ce travail marque une avancée importante en statistique inférentielle. En remplaçant les estimateurs non paramétriques instables par des processus de score orthogonaux agrégés dans un RKHS, les auteurs offrent un outil robuste, mathématiquement élégant et pratiquement utilisable pour les chercheurs travaillant sur des données de survie ou des données de sélection biaisée. La méthode est particulièrement pertinente pour les modèles où la structure de censure/troncation est complexe et difficile à modéliser explicitement.