Causal Discovery in Structural VAR Models Under Equal Noise Variance

Resumo Técnico: Descoberta Causal em Modelos VAR Estruturais sob Variância de Ruído Igual

Enunciado do Problema
A descoberta causal a partir de séries temporais multivariadas é particularmente desafiadora quando os efeitos causais ocorrem tanto ao longo do tempo (defasados) quanto dentro do mesmo intervalo de amostragem (contemporâneos). Esta questão é crítica em domínios como a neurociência, onde as taxas de amostragem (por exemplo, fMRI) são frequentemente grosseiras em relação às dinâmicas subjacentes, tornando necessários modelos que capturem interações dentro do mesmo bin. Embora os modelos Vetor Autoregressivos Estruturais (SVAR) lineares Gaussianos sejam poderosos para este fim, as técnicas padrão de identificação frequentemente falham neste cenário.

Diferentemente dos Modelos de Equações Estruturais (SEMs) de corte transversal, onde uma suposição de variância de ruído igual combinada com uma suposição de Grafo Acíclico Direcionado (DAG) produz identificação pontual de um grafo causal único, o cenário de séries temporais com efeitos contemporâneos não produz geralmente um grafo único. Em modelos SVAR, os efeitos contemporâneos podem formar ciclos direcionados, e múltiplas parametrizações estruturais distintas podem induzir exatamente a mesma lei do processo observado estacionário. Consequentemente, o alvo da descoberta causal desloca-se da identificação de um único grafo para a identificação de uma classe de equivalência observacional.

Metodologia
O artigo propõe uma estrutura para descoberta causal em modelos SVAR(1) lineares Gaussianos sob a suposição de variância de ruído igual (termos de ruído estrutural mutuamente independentes com uma variância comum $\sigma^2$).

1. Caracterização da Equivalência Observacional:
   Os autores provam que dois modelos SVAR admissíveis $M = (A_0, A_1, \sigma)$ e $M' = (A'_0, A'_1, \sigma')$ são observacionalmente equivalentes (induzindo o mesmo processo Gaussiano estacionário) se e somente se seus parâmetros estruturais estiverem relacionados por uma transformação ortogonal e uma escala global positiva. Especificamente, existe uma matriz ortogonal $Q \in O(p)$ e um escalar $c > 0$ tais que:
   $$B' = cQB, \quad A'_1 = cQA_1, \quad \sigma' = c\sigma$$
   onde $B = I - A_0$. Esta caracterização implica que o grafo estrutural não é identificado pontualmente; ao invés disso, os dados identificam uma classe de modelos relacionados por essas transformações.

2. Discrepância de Alinhamento Observacional:
   Para avaliar a recuperação de modelos neste cenário, os autores introduzem a discrepância de alinhamento observacional ($\Delta^{\text{obs}}_{\text{align}}$). Diferentemente dos erros de Frobenius padrão, esta métrica mede a distância entre um modelo candidato e toda a classe de equivalência observacional da verdade fundamental. É definida como o ínfimo do erro de reconstrução sobre todas as transformações ortogonais válidas e escalas globais. Uma solução de forma fechada é derivada usando a Decomposição em Valores Singulares (SVD), permitindo uma avaliação eficiente da recuperação estrutural sem a necessidade de corresponder a um representante arbitrário específico.

3. Algoritmo ENVAR:
   Os autores propõem o ENVAR (Descoberta Causal VAR de Ruído Igual), um procedimento baseado em esparsidade para selecionar um representante preferido da classe de equivalência. O algoritmo procede em três etapas:

   • Estimação da Forma Reduzida: Estimar a matriz de transição da forma reduzida $\Phi$ e a covariância residual $\Sigma_u$ via Mínimos Quadrados Ordinários (OLS).
   • Construção do Representante Canônico: Construir uma representação estrutural base usando o fator de Cholesky da matriz de precisão empírica.
   • Busca Esparsa: Buscar sobre a variedade ortogonal e a escala global para encontrar um representante estrutural que minimize a norma $\ell_1$ das entradas fora da diagonal de $A_0$ (efeitos contemporâneos) e de todas as entradas de $A_1$ (efeitos defasados), sujeito à restrição de normalização $\text{diag}(I - A_0) = 1$. Isso é resolvido usando otimização não convexa na variedade ortogonal (via parametrização ortogonal do PyTorch).

Resultados Principais
A metodologia foi avaliada em dados sintéticos e dados reais de fMRI do Projeto de Conectividade Humana (HCP).

• Dados Sintéticos: O ENVAR foi comparado contra EqVarGDS, VARLiNGAM e DYNOTEARS. O ENVAR alcançou a menor discrepância de alinhamento observacional livre de escala através de várias dimensões de grafos ($p$), indicando que recupera com sucesso modelos mais próximos da verdadeira classe de equivalência. Também demonstrou maior correlação de Pearson com parâmetros da forma reduzida e matrizes estruturais da verdade fundamental em comparação com as linhas de base. Notavelmente, o ENVAR mostrou robustez a violações da suposição de variância igual, mantendo desempenho superior mesmo quando as variâncias do ruído variaram moderadamente entre os nós.
• Dados Reais de fMRI: Aplicado a dados de tarefa motora do HCP, o ENVAR recuperou grafos causais onde as centralidades nodais (grau de entrada, grau de saída, fluxo líquido) alinharam-se notavelmente bem com mapas de ativação neurocientíficos conhecidos. A análise NeuroSynth confirmou que os termos cognitivos decodificados associados às estruturas de grafos aprendidas eram consistentes com a literatura sobre controle motor.

Significância e Afirmações
O artigo afirma que, sob variância de ruído igual, o grafo estrutural em modelos SVAR geralmente não é identificado pontualmente devido à presença de ciclos contemporâneos e à invariância da lei observada sob transformações ortogonais. Portanto, o alvo apropriado para a descoberta causal é a classe de equivalência observacional, e não um único grafo.

A significância deste trabalho reside em:

1. Fornecer uma caracterização exata desta classe de equivalência para dados de séries temporais, distinguindo-a do cenário de DAG de corte transversal.
2. Introduzir uma métrica de erro consciente de equivalência (discrepância de alinhamento observacional) que avalia corretamente a recuperação estrutural ao levar em conta a não identificabilidade inerente.
3. Propor o ENVAR, um algoritmo prático que aproveita a esparsidade para selecionar um representante normalizado da classe de equivalência, demonstrando maior precisão sobre métodos de última geração em cenários de neuroimagem sintéticos e do mundo real.

Os autores notam limitações, incluindo a dependência de linearidade, estacionariedade e a ausência de confundidores não observados, bem como o uso de otimização não convexa que pode convergir para mínimos locais. Sugere-se trabalho futuro para abordar não estacionariedades e dinâmicas de ordem superior.