Causal Discovery in Structural VAR Models Under Equal Noise Variance

Resumen Técnico: Descubrimiento Causal en Modelos VAR Estructurales bajo Varianza de Ruido Igual

Enunciado del Problema
El descubrimiento causal a partir de series temporales multivariantes es particularmente desafiante cuando los efectos causales ocurren tanto a través del tiempo (retrasados) como dentro del mismo intervalo de muestreo (contemporáneos). Esta cuestión es crítica en dominios como la neurociencia, donde las tasas de muestreo (por ejemplo, fMRI) suelen ser gruesas en relación con la dinámica subyacente, haciendo necesario modelos que capturen interacciones dentro del mismo intervalo. Aunque los modelos lineales Gaussianos de Vectores Autorregresivos Estructurales (SVAR) son potentes para esto, las técnicas de identificación estándar a menudo fallan en este contexto.

A diferencia de los Modelos de Ecuaciones Estructurales (SEM) transversales, donde una suposición de varianza de ruido igual combinada con una suposición de Grafo Acíclico Dirigido (DAG) produce la identificación puntual de un único grafo causal, el contexto de series temporales con efectos contemporáneos no produce generalmente un grafo único. En los modelos SVAR, los efectos contemporáneos pueden formar ciclos dirigidos, y múltiples parametrizaciones estructurales distintas pueden inducir la misma ley exacta del proceso observado estacionario. En consecuencia, el objetivo del descubrimiento causal se desplaza de identificar un único grafo a identificar una clase de equivalencia observacional.

Metodología
El artículo propone un marco para el descubrimiento causal en modelos SVAR(1) lineales Gaussianos bajo la suposición de varianza de ruido igual (los términos de ruido estructural son mutuamente independientes con una varianza común $\sigma^2$).

1. Caracterización de la Equivalencia Observacional:
   Los autores demuestran que dos modelos SVAR admisibles $M = (A_0, A_1, \sigma)$ y $M' = (A'_0, A'_1, \sigma')$ son observacionalmente equivalentes (inducen el mismo proceso gaussiano estacionario) si y solo si sus parámetros estructurales están relacionados mediante una transformación ortogonal y una escala global positiva. Específicamente, existe una matriz ortogonal $Q \in O(p)$ y un escalar $c > 0$ tales que:
   $$B' = cQB, \quad A'_1 = cQA_1, \quad \sigma' = c\sigma$$
   donde $B = I - A_0$. Esta caracterización implica que el grafo estructural no está identificado puntualmente; más bien, los datos identifican una clase de modelos relacionados mediante estas transformaciones.

2. Discrepancia de Alineación Observacional:
   Para evaluar la recuperación de modelos en este contexto, los autores introducen la discrepancia de alineación observacional ($\Delta^{\text{obs}}_{\text{align}}$). A diferencia de los errores de Frobenius estándar, esta métrica mide la distancia entre un modelo candidato y toda la clase de equivalencia observacional de la verdad fundamental. Se define como el ínfimo del error de reconstrucción sobre todas las transformaciones ortogonales válidas y escalados globales. Se deriva una solución de forma cerrada utilizando la Descomposición en Valores Singulares (SVD), lo que permite una evaluación eficiente de la recuperación estructural sin necesidad de coincidir con un representante arbitrario específico.

3. Algoritmo ENVAR:
   Los autores proponen ENVAR (Descubrimiento Causal VAR de Ruido Igual), un procedimiento basado en la esparsidad para seleccionar un representante preferido de la clase de equivalencia. El algoritmo procede en tres pasos:

   • Estimación de la Forma Reducida: Estimar la matriz de transición de forma reducida $\Phi$ y la covarianza residual $\Sigma_u$ mediante Mínimos Cuadrados Ordinarios (OLS).
   • Construcción del Representante Canónico: Construir una representación estructural base utilizando el factor de Cholesky de la matriz de precisión empírica.
   • Búsqueda Esparsa: Buscar sobre la variedad ortogonal y la escala global para encontrar un representante estructural que minimice la norma $\ell_1$ de las entradas fuera de la diagonal de $A_0$ (efectos contemporáneos) y todas las entradas de $A_1$ (efectos retrasados), sujeto a la restricción de normalización $\text{diag}(I - A_0) = 1$. Esto se resuelve utilizando optimización no convexa sobre la variedad ortogonal (mediante la parametrización ortogonal de PyTorch).

Resultados Clave
La metodología fue evaluada en datos sintéticos y datos reales de fMRI del Proyecto Connectoma Humano (HCP).

• Datos Sintéticos: ENVAR se comparó contra EqVarGDS, VARLiNGAM y DYNOTEARS. ENVAR logró la discrepancia de alineación observacional libre de escala más baja a través de diversas dimensiones de grafos ($p$), lo que indica que recupera con éxito modelos más cercanos a la verdadera clase de equivalencia. También demostró una mayor correlación de Pearson con los parámetros de forma reducida y matrices estructurales de la verdad fundamental en comparación con las líneas base. Cabe destacar que ENVAR mostró robustez ante violaciones de la suposición de varianza igual, manteniendo un rendimiento superior incluso cuando las varianzas del ruido variaban moderadamente entre nodos.
• Datos Reales de fMRI: Aplicado a datos de tareas motoras del HCP, ENVAR recuperó grafos causales donde las centralidades nodales (grado de entrada, grado de salida, flujo neto) se alinearon notablemente bien con los mapas de activación neurocientíficos conocidos. El análisis de NeuroSynth confirmó que los términos cognitivos decodificados asociados con las estructuras de grafos aprendidas eran consistentes con la literatura sobre control motor.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma que bajo varianza de ruido igual, el grafo estructural en modelos SVAR generalmente no está identificado puntualmente debido a la presencia de ciclos contemporáneos y la invarianza de la ley observada bajo transformaciones ortogonales. Por lo tanto, el objetivo apropiado para el descubrimiento causal es la clase de equivalencia observacional, no un único grafo.

El significado de este trabajo radica en:

1. Proporcionar una caracterización exacta de esta clase de equivalencia para datos de series temporales, distinguiéndola del contexto de DAG transversal.
2. Introducir una métrica de error consciente de la equivalencia (discrepancia de alineación observacional) que evalúa correctamente la recuperación estructural al tener en cuenta la no identificabilidad inherente.
3. Proponer ENVAR, un algoritmo práctico que aprovecha la esparsidad para seleccionar un representante normalizado de la clase de equivalencia, demostrando una mayor precisión sobre los métodos más avanzados en escenarios de neuroimagen sintéticos y del mundo real.

Los autores señalan limitaciones, incluida la dependencia de la linealidad, la estacionariedad y la ausencia de confusores no observados, así como el uso de optimización no convexa que puede converger a mínimos locales. Se sugiere trabajo futuro para abordar no estacionariedades y dinámicas de orden superior.