Causal Discovery in Structural VAR Models Under Equal Noise Variance

Résumé technique : Découverte causale dans les modèles VAR structurels sous hypothèse de variance de bruit égale

Énoncé du problème
La découverte causale à partir de séries temporelles multivariées est particulièrement délicate lorsque les effets causaux se produisent à la fois dans le temps (retardés) et au sein du même intervalle d'échantillonnage (contemporains). Cette question est critique dans des domaines tels que les neurosciences, où les taux d'échantillonnage (par exemple, l'IRMf) sont souvent grossiers par rapport aux dynamiques sous-jacentes, nécessitant des modèles capables de capturer les interactions intra-bin. Bien que les modèles autorégressifs vectoriels structurels (SVAR) linéaires gaussiens soient puissants pour cela, les techniques d'identification standard échouent souvent dans ce contexte.

Contrairement aux modèles d'équations structurelles (SEM) transversaux où une hypothèse de variance de bruit égale combinée à une hypothèse de graphe acyclique dirigé (DAG) conduit à une identification ponctuelle d'un graphe causal unique, le cadre des séries temporelles avec effets contemporains ne génère généralement pas un graphe unique. Dans les modèles SVAR, les effets contemporains peuvent former des cycles dirigés, et plusieurs paramétrisations structurelles distinctes peuvent induire exactement la même loi de processus observé stationnaire. Par conséquent, l'objectif de la découverte causale se déplace de l'identification d'un graphe unique vers l'identification d'une classe d'équivalence observationnelle.

Méthodologie
L'article propose un cadre pour la découverte causale dans les modèles SVAR(1) linéaires gaussiens sous l'hypothèse d'une variance de bruit égale (les termes de bruit structurels sont mutuellement indépendants avec une variance commune $\sigma^2$).

1. Caractérisation de l'équivalence observationnelle :
   Les auteurs démontrent que deux modèles SVAR admissibles $M = (A_0, A_1, \sigma)$ et $M' = (A'_0, A'_1, \sigma')$ sont observationnellement équivalents (induisant le même processus gaussien stationnaire) si et seulement si leurs paramètres structurels sont liés par une transformation orthogonale et une échelle globale positive. Plus précisément, il existe une matrice orthogonale $Q \in O(p)$ et un scalaire $c > 0$ tels que :
   $$B' = cQB, \quad A'_1 = cQA_1, \quad \sigma' = c\sigma$$
   où $B = I - A_0$. Cette caractérisation implique que le graphe structurel n'est pas identifié ponctuellement ; plutôt, les données identifient une classe de modèles reliés par ces transformations.

2. Discrépance d'alignement observationnel :
   Pour évaluer la récupération de modèle dans ce contexte, les auteurs introduisent la discrépance d'alignement observationnel ($\Delta^{\text{obs}}_{\text{align}}$). Contrairement aux erreurs de Frobenius standard, cette métrique mesure la distance entre un modèle candidat et l'ensemble de la classe d'équivalence observationnelle de la vérité terrain. Elle est définie comme l'infimum de l'erreur de reconstruction sur l'ensemble des transformations orthogonales valides et des mises à l'échelle globales. Une solution sous forme fermée est dérivée en utilisant la décomposition en valeurs singulières (SVD), permettant une évaluation efficace de la récupération structurelle sans avoir besoin de correspondre à un représentant arbitraire spécifique.

3. Algorithme ENVAR :
   Les auteurs proposent ENVAR (Découverte causale VAR à bruit égal), une procédure basée sur la parcimonie pour sélectionner un représentant préféré de la classe d'équivalence. L'algorithme procède en trois étapes :

   • Estimation de la forme réduite : Estimation de la matrice de transition de forme réduite $\Phi$ et de la covariance résiduelle $\Sigma_u$ par la méthode des moindres carrés ordinaires (MCO).
   • Construction d'un représentant canonique : Construction d'une représentation structurelle de base en utilisant le facteur de Cholesky de la matrice de précision empirique.
   • Recherche parcimonieuse : Recherche sur la variété orthogonale et l'échelle globale pour trouver un représentant structurel minimisant la norme $\ell_1$ des entrées hors diagonale de $A_0$ (effets contemporains) et de toutes les entrées de $A_1$ (effets retardés), sous la contrainte de normalisation $\text{diag}(I - A_0) = 1$. Ceci est résolu en utilisant une optimisation non convexe sur la variété orthogonale (via la paramétrisation orthogonale de PyTorch).

Résultats clés
La méthodologie a été évaluée sur des données synthétiques et des données réelles d'IRMf provenant du Human Connectome Project (HCP).

• Données synthétiques : ENVAR a été comparé à EqVarGDS, VARLiNGAM et DYNOTEARS. ENVAR a obtenu la plus faible discrépance d'alignement observationnelle sans échelle à travers diverses dimensions de graphe ($p$), indiquant qu'il récupère avec succès des modèles les plus proches de la véritable classe d'équivalence. Il a également démontré une corrélation de Pearson plus élevée avec les paramètres de forme réduite et les matrices structurelles de vérité terrain par rapport aux méthodes de référence. Notamment, ENVAR a montré une robustesse face aux violations de l'hypothèse de variance égale, maintenant des performances supérieures même lorsque les variances de bruit variaient modérément entre les nœuds.
• Données réelles d'IRMf : Appliqué aux données de tâche motrice du HCP, ENVAR a récupéré des graphes causaux où les centralités nodales (degré entrant, degré sortant, flux net) s'alignaient remarquablement bien avec les cartes d'activation neuroscientifiques connues. L'analyse NeuroSynth a confirmé que les termes cognitifs décodés associés aux structures de graphes apprises étaient cohérents avec la littérature sur le contrôle moteur.

Signification et revendications
L'article revendique que sous une variance de bruit égale, le graphe structurel dans les modèles SVAR n'est généralement pas identifié ponctuellement en raison de la présence de cycles contemporains et de l'invariance de la loi observée sous les transformations orthogonales. Par conséquent, la cible appropriée pour la découverte causale est la classe d'équivalence observationnelle, et non un graphe unique.

La signification de ce travail réside dans :

1. La fourniture d'une caractérisation exacte de cette classe d'équivalence pour les données de séries temporelles, la distinguant du cadre DAG transversal.
2. L'introduction d'une métrique d'erreur consciente de l'équivalence (discrépance d'alignement observationnel) qui évalue correctement la récupération structurelle en tenant compte de la non-identifiabilité inhérente.
3. La proposition de ENVAR, un algorithme pratique qui exploite la parcimonie pour sélectionner un représentant normalisé de la classe d'équivalence, démontrant une précision améliorée par rapport aux méthodes de l'état de l'art dans des scénarios de neuroimagerie synthétiques et réels.

Les auteurs notent des limitations, notamment la dépendance à la linéarité, à la stationnarité et à l'absence de confondants non observés, ainsi que l'utilisation d'une optimisation non convexe qui peut converger vers des minima locaux. Des travaux futurs sont suggérés pour aborder les non-stationnarités et les dynamiques d'ordre supérieur.