Bivariate inverse Gaussian degradation processes with shared random effects and an application to fatigue cracks

Resumo Técnico: Processos de Degradação Gaussiana Inversa Bivariados com Efeitos Aleatórios Compartilhados

Definição do Problema
O artigo aborda a modelagem de dados de degradação bivariada envolvendo duas características de desempenho (CPs) de sistemas de engenharia. Embora a degradação univariada seja frequentemente modelada usando o processo Gaussiano Inverso (IG), a análise bivariada apresenta o desafio de capturar a dependência inerente entre as duas CPs. As abordagens existentes geralmente dependem de métodos baseados em cópulas ou modelos baseados em fragilidade (frailty). Uma limitação significativa na literatura de fragilidade atual é a suposição de uma distribuição específica para a fragilidade compartilhada (ex: normal, gama ou lognormal) sem justificativa empírica, uma vez que a fragilidade é uma variável latente não observada. Selecionar uma distribuição de fragilidade inapropriada pode levar a um ajuste de modelo subótimo e a estimativas de confiabilidade imprecisas.

Metodologia
Os autores propõem uma estrutura IG–GG flexível para modelar dados de degradação bivariada. A metodologia consiste nos seguintes componentes:

1. Modelagem Marginal: Os processos de degradação para as duas CPs são modelados individualmente usando processos Gaussianos Inversos (IG). Condicional a um efeito aleatório compartilhado (fragilidade), os dois processos são assumidos como independentes.
2. Distribuição da Fragilidade Compartilhada: Em vez de fixar a distribuição da fragilidade a uma forma específica, a fragilidade compartilhada $\lambda$ é assumida seguindo a família de distribuições Gaussiana Generalizada (GG). A família GG é uma classe paramétrica que inclui as distribuições exponencial, gama, Weibull e lognormal como casos especiais (dependendo dos parâmetros de forma $q$ e $\sigma$) e a lognormal como um caso limite.
3. Estrutura do Modelo: O modelo hierárquico é definido como:
   • $X_1(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_1\Lambda(t; b_1), \eta_1(\Lambda(t; b_1))^2)$
   • $X_2(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_2\Lambda(t; b_2), \eta_2(\Lambda(t; b_2))^2)$
   • $\lambda \sim GG(q, \sigma, \alpha)$
     Aqui, $\Lambda(t; b_k)$ é uma função de transformação temporal monotônica.
4. Estimativa de Parâmetros:
   • Construção da Verossimilhança: A função de verossimilhança marginal é derivada pela integração da verossimilhança condicional (dada $\lambda$) sobre a distribuição GG da fragilidade. Como essa integral carece de uma expressão de forma fechada, os autores empregam integração numérica (métodos de quadratura via função integrate do R) e técnicas de amostragem de Monte Carlo para aproximar a verossimilhança.
   • Otimização: As Estimativas de Máxima Verossimilhança (MLEs) são obtidas através da otimização numérica da função de verossimilhança marginal. Para garantir a identificabilidade dos parâmetros, a média da distribuição da fragilidade compartilhada é restringida a 1.
   • Seleção de Modelo: A estrutura permite ajustar todos os membros especiais da família GG (Exponencial, Gama, Weibull, Lognormal) juntamente com a distribuição GG geral. O modelo mais apropriado é selecionado com base em critérios de informação, tais como o Critério de Informação de Akaike (AIC) e o Critério de Informação Bayesiano (BIC).
5. Confiabilidade do Sistema: O artigo deriva uma aproximação para a função de confiabilidade do sistema (a probabilidade de ambos os componentes sobreviverem além de limiares específicos) aplicando o teorema do limite central bivariado aos tempos de primeira passagem discretos e convertendo o resultado para uma forma contínua.

Principais Resultados

• Estudos de Simulação: Foram realizadas extensas simulações de Monte Carlo com variando tamanhos de amostra ($n=50, 100$) e tempos de medição ($m=20, 40$). Os resultados demonstraram que os métodos de estimativa propostos produzem estimativas não viesadas com Erros Quadráticos Médios (RMSE) razoáveis. O estudo confirmou que, quando a distribuição real da fragilidade é um membro específico da família GG (ex: Gama ou Weibull), o modelo GG geral identifica com sucesso esse membro ou fornece um ajuste comparável ao modelo específico, evitando o risco de erro de especificação.
• Estudo de Caso (Trincas de Fadiga): O modelo foi aplicado a um conjunto de dados do mundo real envolvendo o crescimento de trincas de fadiga em duas trincas (Trinca A e Trinca B) em 10 unidades. O modelo IG–GG foi comparado contra vários modelos baseados em cópulas (Gaussiana, Frank, Gumbel, Clayton, FGM) e modelos de fragilidade específicos (IG com fragilidades Exponencial, Gama, Weibull e Lognormal).
  • O modelo IG–GG alcançou a maior log-verossimilhança e os menores valores de AIC e BIC (-805.320 e -802.899, respectivamente), superando todas as alternativas baseadas em cópulas e em fragilidades específicas.
  • Os resultados indicaram que a distribuição Gaussiana Generalizada proporcionou um ajuste superior em comparação com a suposição de uma distribuição fixa como a Gama ou Lognormal.

Significância e Alegações
O artigo alega que a principal significância da estrutura IG–GG proposta reside em sua flexibilidade. Ao utilizar a família Gaussiana Generalizada, o modelo evita a suposição arbitrária e muitas vezes injustificável de uma distribuição de fragilidade específica. Essa flexibilidade permite que os dados ditem a forma de distribuição mais adequada para o efeito aleatório compartilhado, levando a um melhor ajuste de modelo e a uma representação mais precisa da estrutura de dependência entre os componentes em degradação.

Os autores afirmam que esta abordagem é particularmente valiosa porque a fragilidade é não observada, tornando impossível o teste de hipótese estatística para a seleção da distribuição. A estrutura IG–GG contorna isso ajustando toda a família e selecionando o melhor ajuste via critérios de informação. O artigo conclui que este método proporciona um ajuste superior para dados de degradação bivariada em comparação com modelos existentes baseados em cópulas ou de fragilidade fixa, conforme demonstrado pela aplicação em trincas de fadiga, e oferece um caminho viável para estimar a confiabilidade do sistema nesses contextos.