Bivariate inverse Gaussian degradation processes with shared random effects and an application to fatigue cracks

Résumé technique : Processus de dégradation de Gauss inverse bivariés avec effets aléatoires partagés

Énoncé du problème
L'article traite de la modélisation de données de dégradation bivariées impliquant deux caractéristiques de performance (CP) de systèmes d'ingénierie. Bien que la dégradation univariée soit fréquemment modélisée par un processus de Gauss inverse (IG), l'analyse bivariée présente le défi de capturer la dépendance inhérente entre les deux CP. Les approches existantes reposent généralement sur des méthodes basées sur les copules ou sur des modèles de fragilité. Une limitation significative de la littérature actuelle sur la fragilité est l'hypothèse d'une distribution spécifique pour la fragilité partagée (par exemple, normale, gamma ou lognormale) sans justification empirique, car la fragilité est une variable latente non observée. La sélection d'une distribution de fragilité inappropriée peut conduire à un ajustement de modèle sous-optimal et à des estimations de fiabilité inexactes.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre IG–GG flexible pour modéliser les données de dégradation bivariées. La méthodologie se compose des éléments suivants :

1. Modélisation marginale : Les processus de dégradation pour les deux CP sont modélisés individuellement à l'aide de processus de Gauss inverse (IG). Conditionnellement à un effet aléatoire partagé (fragilité), les deux processus sont supposés être indépendants.
2. Distribution de la fragilité partagée : Au lieu de fixer la distribution de la fragité à une forme spécifique, la fragilité partagée $\lambda$ est supposée suivre la famille de distributions de Gamma généralisée (GG). La famille GG est une classe paramétrique qui inclut les distributions exponentielle, gamma, Weibull et lognormale comme cas particuliers (selon les paramètres de forme $q$ et $\sigma$) et la lognormale comme cas limite.
3. Structure du modèle : Le modèle hiérarchique est défini comme suit :
   • $X_1(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_1\Lambda(t; b_1), \eta_1(\Lambda(t; b_1))^2)$
   • $X_2(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_2\Lambda(t; b_2), \eta_2(\Lambda(t; b_2))^2)$
   • $\lambda \sim GG(q, \sigma, \alpha)$
     Ici, $\Lambda(t; b_k)$ est une fonction de transformation temporelle monotone.
4. Estimation des paramètres :
   • Construction de la vraisemblance : La fonction de vraisemblance marginale est dérivée en intégrant la vraisemblance conditionnelle (donnée $\lambda$) sur la distribution GG de la fragilité. Puisque cette intégrale ne possède pas d'expression de forme fermée, les auteurs emploient l'intégration numérique (méthodes de quadrature via la fonction integrate de R) et des techniques d'échantillonnage de Monte Carlo pour approximer la vraisemblance.
   • Optimisation : Les estimations du maximum de vraisemblance (MLE) sont obtenues par optimisation numérique de la fonction de vraisemblance marginale. Pour assurer l'identifiabilité des paramètres, la moyenne de la distribution de la fragilité partagée est contrainte à 1.
   • Sélection de modèle : Le cadre permet d'ajuster tous les membres spécifiques de la famille GG (Exponentielle, Gamma, Weibull, Lognormale) aux côtés de la distribution GG générale. Le modèle le plus approprié est sélectionné sur la base de critères d'information tels que le critère d'information d'Akaike (AIC) et le critère d'information bayésien (BIC).
5. Fiabilité du système : L'article dérive une approximation de la fonction de fiabilité du système (la probabilité que les deux composants survivent au-delà de seuils spécifiques) en appliant le théorème central limite bivarié aux temps de premier passage discrets et en convertissant le résultat en une forme continue.

Résultats clés

• Études de simulation : Des simulations de Monte Carlo approfondies ont été menées avec des tailles d'échantillon variables ($n=50, 100$) et des temps de mesure ($m=20, 40$). Les résultats ont démontré que les méthodes d'estimation proposées produisent des estimations non biaisées avec des erreurs quadratiques moyennes (RMSE) raisonnables. L'étude a confirmé que lorsque la véritable distribution de fragilité sous-jacente est un membre spécifique de la famille GG (par exemple, Gamma ou Weibull), le modèle GG général l'identifie avec succès ou fournit un ajustement comparable au modèle spécifique, tout en évitant le risque de spécification erronée.
• Étude de cas (Fissures de fatigue) : Le modèle a été appliqué à un ensemble de données réelles concernant la croissance de fissures de fatigue dans deux fissures (Fissure A et Fissure B) sur 10 unités. Le modèle IG–GG a été comparé à plusieurs modèles basés sur les copules (Gaussienne, Frank, Gumbel, Clayton, FGM) et à des modèles de fragilité spécifiques (IG avec fragilités Exponentielle, Gamma, Weibull et Lognormale).
  • Le modèle IG–GG a obtenu la log-vraisemblance la plus élevée et les valeurs AIC et BIC les plus faibles (-805,320 et -802,899, respectivement), surpassant toutes les alternatives basées sur les copules et les modèles de fragilité spécifiques.
  • Les résultats ont indiqué que la distribution Gamma généralisée offrait un meilleur ajustement par rapport à l'hypothèse d'une distribution fixe telle que la Gamma ou la Lognormale.

Signification et revendications
L'article affirme que la principale importance du cadre IG–GG proposé réside dans sa flexibilité. En utilisant la famille Gamma généralisée, le modèle évite l'hypothèse arbitraire et souvent injustifiable d'une distribution de fragilité spécifique. Cette flexibilité permet aux données de dicter la forme distributionnelle la plus appropriée pour l'effet aléatoire partagé, conduisant à un meilleur ajustement du modèle et à une représentation plus précise de la structure de dépendance entre les composants en dégradation.

Les auteurs soutiennent que cette approche est particulièrement précieuse car la fragilité est non observée, rendant impossible le test statistique d'hypothèse pour la sélection de la distribution. Le cadre IG–GG contourne cela en ajustant l'ensemble de la famille et en sélectionnant le meilleur ajustement via les critères d'information. L'article conclut que cette méthode offre un ajustement supérieur pour les données de dégradation bivariée par rapport aux modèles existants basés sur les copules ou sur la fragilité fixe, comme démontré par l'application aux fissures de fatigue, et offre une voie viable pour estimer la fiabilité du système dans ces contextes.