Bivariate inverse Gaussian degradation processes with shared random effects and an application to fatigue cracks

Resumen Técnico: Procesos de Degradación Gaussiana Inversa Bivariante con Efectos Aleatorios Compartidos

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el modelado de datos de degradación bivariante que involucran dos características de desempeño (CP) de sistemas de ingeniería. Mientras que la degradación univariante se modela frecuentemente mediante procesos de Gauss Inversa (IG), el análisis bivariante presenta el desafío de capturar la dependencia inherente entre las dos CP. Los enfoques existentes suelen depender de métodos basados en cópulas o modelos basados en fragilidad. Una limitación significativa en la literatura actual sobre fragilidad es la suposición de una distribución específica para la fragilidad compartida (por ejemplo, normal, gamma o lognormal) sin justificación empírica, ya que la fragilidad es una variable latente no observada. Seleccionar una distribución de fragilidad inapropiada puede conducir a un ajuste de modelo subóptimo y a estimaciones de confiabilidad inexactas.

Metodología
Los autores proponen un marco IG–GG flexible para modelar datos de degradación bivariante. La metodología consta de los siguientes componentes:

1. Modelado Marginal: Los procesos de degradación para las dos CP se modelan individualmente utilizando procesos de Gauss Inversa (IG). Condicional a un efecto aleatorio compartido (fragilidad), se asume que los dos procesos son independientes.
2. Distribución de la Fragilidad Compartida: En lugar de fijar la distribución de la fragilidad a una forma específica, se asume que la fragilidad compartida $\lambda$ sigue la familia de distribuciones Gamma Generalizada (GG). La familia GG es una clase paramétrica que incluye las distribuciones exponencial, gamma, Weibull y lognormal como casos especiales (dependiendo de los parámetros de forma $q$ y $\sigma$) y la lognormal como un caso límite.
3. Estructura del Modelo: El modelo jerárquico se define como:
   • $X_1(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_1\Lambda(t; b_1), \eta_1(\Lambda(t; b_1))^2)$
   • $X_2(t)|\lambda \sim IG(\lambda\mu_2\Lambda(t; b_2), \eta_2(\Lambda(t; b_2))^2)$
   • $\lambda \sim GG(q, \sigma, \alpha)$
     Aquí, $\Lambda(t; b_k)$ es una función de transformación temporal monotónica.
4. Estimación de Parámetros:
   • Construcción de la Verosimilitud: La función de verosimilitud marginal se deriva integrando la verosimilitud condicional (dada $\lambda$) sobre la distribución GG de la fragilidad. Dado que esta integral carece de una expresión de forma cerrada, los autores emplean integración numérica (métodos de cuadratura mediante la función integrate de R) y técnicas de muestreo de Monte Carlo para aproximar la verosimilitud.
   • Optimización: Los Estimadores de Máxima Verosimilitud (MLE) se obtienen mediante la optimización numérica de la función de verosimilitud marginal. Para asegurar la identificabilidad de los parámetros, la media de la distribución de la fragilidad compartida se restringe a 1.
   • Selección de Modelo: El marco permite ajustar todos los miembros especiales de la familia GG (Exponencial, Gamma, Weibull, Lognormal) junto con la distribución GG general. El modelo más apropiado se selecciona basándose en criterios de información tales como el Criterio de Información de Akaike (AIC) y el Criterio de Información Bayesiano (BIC).
5. Confiabilidad del Sistema: El artículo deriva una aproximación para la función de confiabilidad del sistema (la probabilidad de que ambos componentes sobrevivan más allá de ciertos umbrales) aplicando el teorema del límite central bivariante a los tiempos de primer paso discretos y convirtiendo el resultado a una forma continua.

Resultos Clave

• Estudios de Simulación: Se realizaron extensas simulaciones de Monte Carlo con diversos tamaños de muestra ($n=50, 100$) y tiempos de medición ($m=20, 40$). Los resultados demostraron que los métodos de estimación propuestos producen estimaciones insesgadas con errores cuadráticos medios (RMSE) razonables. El estudio confirmó que cuando la distribución de fragilidad real es un miembro específico de la familia GG (por ejemplo, Gamma o Weibull), el modelo GG general lo identifica con éxito o proporciona un ajuste comparable al modelo específico, evitando así el riesgo de una especificación errónea.
• Caso de Estudio (Grietas por Fatiga): El modelo se aplicó a un conjunto de datos del mundo real que involucra el crecimiento de grietas por fatiga en dos grietas (Grieta A y Grieta B) a través de 10 unidades. El modelo IG–GG se comparó contra varios modelos basados en cópulas (Gaussiana, Frank, Gumbel, Clayton, FGM) y modelos de fragilidad específica (IG con fragilidades Exponencial, Gamma, Weibull y Lognormal).
  • El modelo IG–GG alcanzó la mayor log-verosimilitud y los valores más bajos de AIC y BIC (-805.320 y -802.899, respectivamente), superando a todas las alternativas basadas en cópulas y en fragilidad específica.
  • Los resultados indicaron que la distribución Gamma Generalizada proporcionó un ajuste superior en comparación con el supuesto de una distribución fija como la Gamma o la Lognormal.

Significancia y Reivindicaciones
El artículo sostiene que la principal significancia del marco IG–GG propuesto radica en su flexibilidad. Al utilizar la familia Gamma Generalizada, el modelo evita la suposición arbitraria y a menudo injustificable de una distribución de fragilidad específica. Esta flexibilidad permite que los datos dicten la forma distributiva más adecuada para el efecto aleatorio compartido, lo que conduce a un mejor ajuste del modelo y a una representación más precisa de la estructura de dependencia entre los componentes en degradación.

Los autores afirman que este enfoque es particularmente valioso porque la fragilidad es no observada, lo que hace imposible la prueba de hipótesis estadísticas para la selección de la distribución. El marco IG–GG elude esto ajustando toda la familia y seleccionando el mejor ajuste mediante criterios de información. El artículo concluye que este método proporciona un ajuste superior para los datos de degradación bivariante en comparación con los modelos existentes basados en cópulas o de fragilidad fija, y ofrece una vía viable para estimar la confiabilidad del sistema en tales contextos.