Two-Sample Homogeneity Test via Entropic Optimal Transport

Resumo Técnico: Teste de Homogeneidade de Duas Amostras via Transporte Ótimo Entrópico

Enunciado do Problema
O artigo aborda o problema estatístico fundamental do teste de homogeneidade de duas amostras em ambientes multivariados ($d \ge 1$). Dadas duas amostras independentes de distribuições desconhecidas $P$ e $Q$ em $\mathbb{R}^d$, o objetivo é testar a hipótese nula $H_0: P = Q$ contra a hipótese alternativa $H_1: P \neq Q$. Embora os testes univariados se beneficiem de uma ordenação canônica (ex: funções quantílicas), o teste multivariado carece de uma ordem natural, tornando difícil a construção de representações distributivas que preservem a estrutura geométrica. Métodos existentes, como distâncias de energia, MMD (Maximum Mean Discrepancy) baseado em kernels e estatísticas baseadas em grafos, tipicamente resumem as diferenças distributivas em um único valor escalar. Essa agregação frequentemente descarta informações de nível de mapeamento (map-level) sobre como uma distribuição é organizada em relação à outra ou a uma referência comum. Além disso, a inferência baseada em distâncias de Wasserstein empíricas em configurações multivariadas é frequentemente computacionalmente dispendiosa e sofre de assintóticas não padronizadas.

Metodologia
Os autores propõem um teste de homogeneidade baseado em mapas de Transporte Ótimo Entrópico (EOT) a partir de uma distribuição de referência comum. A metodologia procede da seguinte forma:

1. Construção da Referência Comum: Seja $U_d$ a distribuição uniforme no balão unitário $B_d \subset \mathbb{R}^d$. Para qualquer distribuição alvo $P$, o método define um mapa de transporte entrópico $T_{\varepsilon, P}: B_d \to \mathbb{R}^d$. Este mapa é a projeção baricêntrica do acoplamento ótimo entrópico único $\pi_{\varepsilon, P}$ entre $U_d$ e $P$, minimizando o custo $\int \frac{1}{2}\|u-x\|^2 d\pi + \varepsilon \text{KL}(\pi \| U_d \otimes P)$.
2. Estimativa Empírica: Dados os exemplos $X_1, \dots, X_n \sim P$ e $Y_1, \dots, Y_m \sim Q$, os mapas populacionais são estimados por seus equivalentes empíricos $\hat{T}_{\varepsilon, n}$ e $\hat{T}_{\varepsilon, m}$, onde a distribuição de origem permanece a fixa $U_d$ (aproximada numericamente por uma amostra de referência) e o alvo é substituído pelas medidas empíricas $P_n$ e $Q_m$.
3. Estatística de Teste: A estatística de teste $T_{n,m}$ é a distância $L^2$ ao quadrado escalonada entre os dois mapas empíricos sobre o domínio de referência:
   $$T_{n,m} = \frac{nm}{n+m} \int_{B_d} \| \hat{T}_{\varepsilon, n}(u) - \hat{T}_{\varepsilon, m}(u) \|^2 dU_d(u).$$
4. Calibração: Como a distribuição nula de $T_{n,m}$ depende da estrutura de covariância desconhecida do processo Gaussiano limitante (não-pivotal), os autores propõem um bootstrap de multiplicadores ponderados. Este procedimento repondera as medidas alvo empíricas separadamente enquanto mantém a origem fixa, gerando uma distribuição condicional para aproximar os valores críticos.

Principais Contribuições
O artigo estabelece os fundamentos teóricos e práticos para este framework de teste baseado em mapas:

• Identificabilidade: Sob suporte compacto e suposições de regularização fixa, os autores provam que o mapa EOT populacional determina univocamente a distribuição subjacente. Especificamente, $T_{\varepsilon, P} = T_{\varepsilon, Q}$ $U_d$-quase certamente se, e somente se, $P = Q$. Isso garante que a discrepância populacional desaparece precisamente sob a hipótese nula.
• Teoria Assintótica:
  • Limite Nulo: Um teorema do limite central funcional (FCLT) é derivado para a diferença do mapa empírico sob $H_0$. A estatística converge para uma forma quadrática Gaussiana $\sum \omega_k Z_k^2$, onde $\omega_k$ são autovalores do operador de covariância do campo Gaussiano limitante.
  • Consistência: O teste é mostrado como consistente contra alternativas fixas ($P \neq Q$), com a estatística divergindo para o infinito.
  • Poder Local: O poder assintótico sob alternativas locais contíguas é caracterizado, mostrando que o teste é sensível às diferenças nas direções tangentes das distribuições.
• Validade do Bootstrap: A validade do bootstrap de multiplicadores ponderados é estabelecida, provando que a distribuição condicional da estatística de bootstrap estima consistentemente a distribuição limite nula.
• Capacidade Diagnóstica: Diferente dos testes de discrepância escalar, o método fornece um campo vetorial estimado ($\hat{T}_{\varepsilon, n} - \hat{T}_{\varepsilon, m}$) que visualiza a direção e a natureza das diferenças distributivas (ex: translação, expansão radial, cisalhamento).

Resultados
Experimentos numéricos extensos e uma aplicação de dados reais sustentam as descobertas teóricas:

• Calibração de Amostra Finita: O bootstrap de multiplicadores ponderados fornece controle de tamanho confiável através de várias distribuições nulas (Gaussiana, Student-t, misturas Gaussianas) e dimensões ($d=2, 5, 10$), com taxas de rejeição empíricas próximas ao nível nominal (0.05).
• Poder: O teste demonstra poder competitivo contra métodos existentes (Energy, MMD, Sinkhorn divergence, k-NN, Wasserstein, OT-rank). Ele exibe desempenho particularmente forte sob alternativas de localização, onde o deslocamento direcional coerente entre os mapas é facilmente detectado. Também mostra poder robusto sob alternativas de escala, correlação e mistura, embora o desempenho varie em relação a outros métodos dependendo da alternativa específica e da dimensão.
• Eficiência Computacional: Embora o teste de mapa EOT seja mais lento que o Energy ou MMD, é mais rápido que a divergência de Sinkhorn calibrada por permutação. O custo computacional é ajustável via o número de pontos de referência $N$; valores moderados de $N$ produzem poder e tamanho estáveis, reduzindo significativamente o tempo de execução.
• Aplicação em Dados Reais: Aplicado aos dados de viagens de Citi Bike (viajantes membros vs. casuais), o teste detectou diferenças significativas nas distribuições de localização inicial. A visualização em nível de mapa revelou que a discrepância não era apenas um deslocamento global, mas envolvia variações espaciais complexas, com a decomposição coordenada-a-coordenada mostrando contribuições tanto de longitude quanto de latitude.

Significância e Alegações
O artigo posiciona o teste de mapa EOT proposto como um complemento competitivo e interpretável aos testes de discrepância escalar existentes, em vez de um substituto uniformemente dominante. Sua principal significância reside em:

1. Interpretabilidade Geométrica: Ele retém informações direcionais e geométricas sobre mudanças distributivas, permitindo que pesquisadores diagnostiquem como as distribuições diferem (ex: via visualização de campo vetorial) em vez de apenas se elas diferem.
2. Rigor Teórico: Fornece uma teoria de limite rigorosa para mapas EOT sob regularização fixa, superando as assintóticas não padronizadas frequentemente associadas às distâncias de Wasserstein não regularizadas.
3. Utilidade Prática: O método oferece um equilíbrio prático entre poder estatístico, tratabilidade computacional (via algoritmos Sinkhorn e bootstrap) e insight diagnóstico, tornando-o adequado para aplicações onde entender a estrutura das mudanças distributivas é tão importante quanto a própria decisão do teste.