Two-Sample Homogeneity Test via Entropic Optimal Transport

Résumé Technique : Test d'homogénéité à deux échantillons via le transport optimal entropique

Énoncé du problème
L'article traite du problème statistique fondamental du test d'homogénéité à deux échantillons dans des contextes multivariés ($d \ge 1$). Étant donné deux échantillons indépendants provenant de distributions inconnues $P$ et $Q$ sur $\mathbb{R}^d$, l'objectif est de tester l'hypothèse nulle $H_0: P = Q$ contre l'hypothèse alternative $H_1: P \neq Q$. Si les tests univariés bénéficient d'un ordre canonique (par exemple, les fonctions quantiles), les tests multivariés manquent d'un ordre naturel, ce qui rend difficile la construction de représentations distributionnelles qui préservent la structure géométrique. Les méthodes existantes, telles que les distances d'énergie, le Maximum Mean Discrepancy (MMD) basé sur les noyaux et les statistiques basées sur les graphes, résument généralement les différences de distribution en une seule valeur scalaire. Cette agrégation perd souvent des informations de niveau "carte" concernant la manière dont une distribution est organisée par rapport à une autre ou à une référence commune. De plus, l'inférence basée sur les distances de Wasserstein empiriques dans des contextes multivariés est souvent coûteuse en calcul et souffre d'une asymptoticité non standard.

Méthodologie
Les auteurs proposent un test d'homogénéité basé sur des cartes de transport optimal entropique (EOT) à partir d'une distribution de référence commune. La méthodologie procède comme suit :

1. Construction de la référence commune : Soit $U_d$ la distribution uniforme sur la boule unité $B_d \subset \mathbb{R}^d$. Pour toute distribution cible $P$, la méthode définit une carte de transport entropique $T_{\varepsilon, P}: B_d \to \mathbb{R}^d$. Cette carte est la projection barycentrique du couplage optimal entropique unique $\pi_{\varepsilon, P}$ entre $U_d$ et $P$, minimisant le coût $\int \frac{1}{2}\|u-x\|^2 d\pi + \varepsilon \text{KL}(\pi \| U_d \otimes P)$.
2. Estimation empirique : Étant donnés des échantillons $X_1, \dots, X_n \sim P$ et $Y_1, \dots, Y_m \sim Q$, les cartes de population sont estimées par leurs homologues empiriques $\hat{T}_{\varepsilon, n}$ et $\hat{T}_{\varepsilon, m}$, où la distribution source reste la $U_d$ fixe (approximée numériquement par un échantillon de référence) et la cible est remplacée par les mesures empiriques $P_n$ et $Q_m$.
3. Statistique de test : La statistique de test $T_{n,m}$ est la distance au carré $L^2$ pondérée entre les deux cartes empiriques sur le domaine de référence :
   $$T_{n,m} = \frac{nm}{n+m} \int_{B_d} \| \hat{T}_{\varepsilon, n}(u) - \hat{T}_{\varepsilon, m}(u) \|^2 dU_d(u).$$
4. Calibrage : Puisque la distribution nulle de $T_{n,m}$ dépend de la structure de covariance inconnue du processus gaussien limite (non pivot), les auteurs proposent un bootstrap à multiplicateurs pondérés. Cette procédure repondère les mesures cibles empiriques séparément tout en gardant la source fixe, générant une distribution conditionnelle pour approximer les valeurs critiques.

Contributions clés
L'article établit les fondements théoriques et pratiques de ce cadre de test basé sur les cartes :

• Identifiabilité : Sous l'hypothèse de support compact et de régularisation fixe, les auteurs prouvent que la carte EOT de population détermine de manière unique la distribution sous-jacente. Plus précisément, $T_{\varepsilon, P} = T_{\varepsilon, Q}$ $U_d$-presque partout si et seulement si $P = Q$. Cela garantit que la divergence de population s'annule précisément sous l'hypothèse nulle.
• Théorie asymptotique :
  • Limite sous l'hypothèse nulle : Un théorème central limite fonctionnel (FCLT) est dérivé pour la différence de carte empirique sous $H_0$. La statistique converge vers une forme quadratique gaussienne $\sum \omega_k Z_k^2$, où $\omega_k$ sont les valeurs propres de l'opérateur de covariance du champ gaussien limite.
  • Consistance : Le test est montré comme étant consistant contre les alternatives fixes ($P \neq Q$), la statistique divergeant vers l'infini.
  • Puissance locale : La puissance asymptotique sous des alternatives locales contiguës est caractérisée, montrant que le test est sensible aux différences dans les directions tangentes des distributions.
• Validité du Bootstrap : La validité du bootstrap à multiplicateurs pondérés est établie, prouvant que la distribution conditionnelle de la statistique de bootstrap estime de manière cohérente la distribution limite nulle.
• Capacité de diagnostic : Contrairement aux tests de divergence scalaires, la méthode fournit un champ de vecteurs estimé ($\hat{T}_{\varepsilon, n} - \hat{T}_{\varepsilon, m}$) qui visualise la direction et la nature des différences de distribution (ex: translation, expansion radiale, cisaillement).

Résultats
Des expériences numériques approfondies et une application sur des données réelles soutiennent les conclusions théoriques :

• Calibrage en échantillon fini : Le bootstrap à multiplicateurs pondérés fournit un contrôle fiable de la taille à travers diverses distributions nulles (Gaussienne, Student-t, mélanges gausiens) et dimensions ($d=2, 5, 10$), avec des taux de rejet empiriques proches du niveau nominal (0,05).
• Puissance : Le test démontre une puissance compétitive par rapport aux méthodes existantes (Énergie, MMD, divergence de Sinkhorn, k-NN, Wasserstein, OT-rank). Il présente une performance particulièrement forte sous les alternatives de localisation, où le déplacement directionnel cohérent entre les cartes est facilement détecté. Il montre également une puissance robuste sous les alternatives d'échelle, de corrélation et de mélange, bien que la performance varie par rapport aux autres méthodes selon l'alternative spécifique et la dimension.
• Efficacité computationnelle : Bien que le test de carte EOT soit plus lent que l'Énergie ou le MMD, il est plus rapide que la divergence de Sinkhorn calibrée par permutation. Le coût de calcul est ajustable via le nombre de points de référence $N$ ; des valeurs modérées de $N$ permettent d'obtenir une puissance et une taille stables tout en réduisant considérablement le temps d'exécution.
• Application sur données réelles : Appliqué aux données de trajets Citi Bike (cyclistes membres vs occasionnels), le test a détecté des différences significatives dans les distributions de localisation de départ. La visualisation au niveau de la carte a révélé que la divergence n'était pas simplement un décalage global mais impliquait des variations spatiales complexes, avec une décomposition coordonnée montrant des contributions tant de la longitude que de la latitude.

Signification et Revendications
L'article positionne le test de carte EOT proposé comme un complément compétitif et interprétable aux tests de divergence scalaires existants, plutôt que comme un remplacement uniformément dominant. Sa principale importance réside dans :

1. Interprétabilité géométrique : Il conserve les informations directionnelles et géométriques sur les changements de distribution, permettant aux chercheurs de diagnostiquer comment les distributions diffèrent (ex: via la visualisation de champs de vecteurs) plutôt que de simplement savoir si elles diffèrent.
2. Rigueur théorique : Il fournit une théorie limite rigoureuse pour les cartes EOT sous régularisation fixe, surmontant l'asymptoticité non standard souvent associée aux distances de Wasserstein non régularisées.
3. Utilité pratique : La méthode offre un équilibre pratique entre puissance statistique, tractabilité computationnelle (via les algorithmes de Sinkhorn et le bootstrap) et apport de diagnostic, la rendant adaptée aux applications où la compréhension de la structure des décalages de distribution est aussi importante que la décision de test elle-même.