Two-Sample Homogeneity Test via Entropic Optimal Transport

Resumen Técnico: Prueba de Homogeneidad de Dos Muestras mediante Transporte Óptimo Entrópico

Planteamiento del Problema
El artículo aborda el problema estadístico fundamental de la prueba de homogeneidad de dos muestras en entornos multivariantes ($d \ge 1$). Dadas dos muestras independientes de distribuciones desconocidas $P$ y $Q$ en $\mathbb{R}^d$, el objetivo es probar la hipótesis nula $H_0: P = Q$ contra la hipótesis alternativa $H_1: P \neq Q$. Las pruebas univariantes se benefician de un orden canónico (por ejemplo, funciones cuantiles), pero las pruebas multivariantes carecen de un orden natural, lo que dificulta la construcción de representaciones distribucionales que preserven la estructura geométrica. Los métodos existentes, como las distancias de energía, el Máximo Desajuste de Kernel (MMD) basado en kernels y las estadísticas basadas en grafos, típicamente resumen las diferencias distribucionales en un único valor escalar. Esta agregación a menudo descarta la información a nivel de mapa sobre cómo una distribución está organizada en relación con otra o con una referencia común. Además, la inferencia basada en distancias de Wasserstein empíricas en entornos multivariantes suele ser computacionalmente costosa y sufre de una asintótica no estándar.

Metodología
Los autores proponen una prueba de homogeneidad basada en mapas de Transporte Óptimo Entrópico (EOT) desde una distribución de referencia común. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Construcción de la Referencia Común: Sea $U_d$ la distribución uniforme en la bola unitaria $B_d \subset \mathbb{R}^d$. Para cualquier distribución objetivo $P$, el método define un mapa de transporte entrópico $T_{\varepsilon, P}: B_d \to \mathbb{R}^d$. Este mapa es la proyección baricéntrica del acoplamiento óptimo entrópico único $\pi_{\varepsilon, P}$ entre $U_d$ y $P$, que minimiza el costo $\int \frac{1}{2}\|u-x\|^2 d\pi + \varepsilon \text{KL}(\pi \| U_d \otimes P)$.
2. Estimación Empírica: Dados los datos $X_1, \dots, X_n \sim P$ y $Y_1, \dots, Y_m \sim Q$, los mapas poblacionales se estiman mediante sus contrapartes empíricas $\hat{T}_{\varepsilon, n}$ y $\hat{T}_{\varepsilon, m}$, donde la distribución de origen permanece como la fija $U_d$ (aproximada numéricamente por una muestra de referencia) y el objetivo es reemplazado por las medidas empíricas $P_n$ y $Q_m$.
3. Estadístico de Prueba: El estadístico de prueba $T_{n,m}$ es la distancia al cuadrado $L^2$ escalada entre los dos mapas empíricos sobre el dominio de referencia:
   $$T_{n,m} = \frac{nm}{n+m} \int_{B_d} \| \hat{T}_{\varepsilon, n}(u) - \hat{T}_{\varepsilon, m}(u) \|^2 dU_d(u).$$
4. Calibración: Dado que la distribución nula de $T_{n,m}$ depende de la estructura de covarianza desconocida del proceso Gaussiano límite (no es pivote), los autores proponen un bootstrap de multiplicadores ponderados. Este procedimiento repondera las medidas objetivo empíricas por separado mientras mantiene fija la fuente, generando una distribución condicional para aproximar los valores críticos.

Contribuciones Clave
El artículo establece los fundamentos teóricos y prácticos de este marco de prueba basado en mapas:

• Identificabilidad: Bajo supuestos de soporte compacto y regularización fija, los autores demuestran que el mapa EOT poblacional determina de forma única la distribución subyacente. Específicamente, $T_{\varepsilon, P} = T_{\varepsilon, Q}$ $U_d$-casi en todo si y solo si $P = Q$. Esto asegura que la discrepancia poblacional desaparece precisamente bajo la hipótesis nula.
• Teoría Asintótica:
  • Límite de la Nula: Se deriva un teorema del límite central funcional (FCLT) para la diferencia del mapa empírico bajo $H_0$. El estadístico converge a una forma cuadrática Gaussiana $\sum \omega_k Z_k^2$, donde $\omega_k$ son los autovalores del operador de covarianza del campo Gaussiano límite.
  • Consistencia: Se demuestra que la prueba es consistente contra alternativas fijas ($P \neq Q$), donde el estadístico diverge al infinito.
  • Potencia Local: La potencia asintótica bajo alternativas locales contiguas se caracteriza, mostrando que la prueba es sensible a las diferencias en las direcciones tangentes de las distribuciones.
• Validez del Bootstrap: Se establece la validez del bootstrap de multiplicadores ponderados, demostrando que la distribución condicional del estadístico de bootstrap estima consistentemente la distribución límite de la nula.
• Capacidad de Diagnóstico: A diferencia de las pruebas de discrepancia escalares, el método proporciona un campo vectorial estimado ($\hat{T}_{\varepsilon, n} - \hat{T}_{\varepsilon, m}$) que visualiza la dirección y la naturaleza de las diferencias distribucionales (por ejemplo, traslación, expansión radial, cizalladura).

Resultados
Extensos experimentos numéricos y una aplicación de datos reales respaldan los hallazgos teóricos:

• Calibración de Muestra Finita: El bootstrap de multiplicadores ponderados proporciona un control de tamaño fiable a través de diversas distribuciones nulas (Gaussiana, Student-t, mezclas Gaussianas) y dimensiones ($d=2, 5, 10$), con tasas de rechazo empíricas cercanas al nivel nominal (0.05).
• Potencia: La prueba demuestra una potencia competitiva frente a métodos existentes (Energía, MMD, divergencia de Sinkhorn, k-NN, Wasserstein, OT-rank). Exhibe un rendimiento particularmente fuerte bajo alternativas de localización, donde el desplazamiento direccional coherente entre mapas es fácilmente detectable. También muestra una potencia robusta bajo alternativas de escala, correlación y mezcla, aunque el rendimiento varía respecto a otros métodos dependiendo de la alternativa específica y la dimensión.
• Eficiencia Computacional: Aunque la prueba de mapa EOT es más lenta que la de Energía o MMD, es más rápida que la divergencia de Sinkhorn calibrada por permutación. El coste computacional es ajustable mediante el número de puntos de referencia $N$; valores moderados de $N$ producen una potencia y un tamaño estables reduciendo significativamente el tiempo de ejecución.
• Aplicación de Datos Reales: Aplicada a los datos de viajes de Citi Bike (usuarios miembros frente a usuarios ocasionales), la prueba detectó diferencias significativas en las distribuciones de ubicación de inicio. La visualización a nivel de mapa reveló que la discrepancia no era simplemente un desplazamiento global, sino que implicaba variaciones espaciales complejas, con la descomposición por coordenadas mostrando contribuciones tanto de la longitud como de la latitud.

Significación y Reivindicaciones
El artículo posiciona la prueba de mapa EOT propuesta como un complemento competitivo e interpretable de las pruebas de discrepancia escalares existentes, en lugar de un reemplazo uniformemente dominante. Su principal significación reside en:

1. Interpretabilidad Geométrica: Conserva la información direccional y geométrica sobre los cambios distribucionales, permitiendo a los investigadores diagnosticar cómo difieren las distribuciones (por ejemplo, mediante la visualización de campos vectoriales) en lugar de solo determinar si difieren.
2. Rigor Teórico: Proporciona una teoría límite rigurosa para los mapas EOT bajo regularización fija, superando la asintótica no estándar que suele asociarse con las distancias de Wasserstein no regularizadas.
3. Utilidad Práctica: El método ofrece un equilibrio práctico entre potencia estadística, tratabilidad computacional (vía algoritmos de Sinkhorn y bootstrap) e información diagnóstica, lo que lo hace adecuado para aplicaciones donde comprender la estructura de los cambios distribucionales es tan importante como la decisión de la prueba en sí misma.