Generalized Unimodular Gravity and Cosmological Perturbations

Resumo Técnico: Gravidade Unimodular Generalizada e Perturbações Cosmológicas

Problema
O artigo aborda o arcabouço teórico da Gravidade Unimodular Generalizada (GUG), uma extensão da gravidade unimodular original proposta por Einstein. Na gravidade unimodular padrão, o determinante da métrica do espaço-tempo é fixado em uma constante ($g = -1$), o que restringe a teoria a difeomorfismos preservadores de volume e introduz uma constante de integração que atua como a constante cosmológica. Os autores investigam uma classe mais ampla de teorias onde a função de lapse $N$ não é tratada como um multiplicador de Lagrange independente, mas é definida como uma função específica do determinante da métrica espacial, $\gamma$ (ou seja, $N = N(\gamma)$). O problema central é determinar como essa restrição modifica as equações de Einstein, se ela pode gerar naturalmente componentes de matéria efetivos (o "setor escuro") a partir de termos puramente geométricos, e como as perturbações cosmológicas se comportam neste arcabouço em comparação com a Relatividade Geral (RG).

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem de tipo Hamiltoniano dentro do formalismo ADM, tratando a função de lapse $N$ como uma função fixa do determinante da métrica espacial $\gamma$, em vez de uma variável livre.

1. Análise de Background: Eles derivam as equações de Einstein modificadas variando a ação de Hilbert-Einstein sob a restrição $N = N(\gamma)$. Isso reduz o número de equações independentes de 10 para 9, uma vez que a componente $00$ (restrição super-Hamiltoniana) está ausente. A equação faltante é recuperada através das identidades de Bianchi, que são tratadas como restrições puramente geométricas independentes da teoria de gravidade específica.
2. Background Cosmológico: O formalismo é aplicado a um universo de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW) plano. Os autores analisam as equações diferenciais resultantes para identificar densidades de energia efetivas e equações de estado geradas pela escolha da função $N(\gamma)$.
3. Teoria de Perturbação: Os autores utilizam o formalismo invariante de gauge (seguindo Bardeen e outros) para estudar perturbações escalares. Eles examinam especificamente as restrições impostas pelo arcabouço GUG sobre as perturbações métricas, observando que o gauge conformal-newtoniano (longitudinal) padrão não pode ser totalmente imposto devido à natureza fixa da função de lapse.

Principais Contribuições e Resultados

• Origem Geométrica da Matéria: O principal resultado é que o relaxamento da restrição super-Hamiltoniana na GUG leva ao aparecimento de um termo de densidade de energia efetiva nas equações de Friedmann. Esse termo surge puramente da relação geométrica entre a função de lapse e o determinante da métrica espacial.

  • Se $N = 1$, a matéria efetiva comporta-se como poeira ($w=0$).
  • Se $N = \gamma^{-1/2}$ (equivalente à condição unimodular padrão), a matéria efetiva comporta-se como uma constante cosmológica ($w=-1$).
  • Geralmente, para $N = \gamma^{w/2}$, a teoria mimetiza um fluido perfeito com uma equação de estado $p = w\varepsilon$.
  • Os autores demonstram que, para cenários não homogêneos, a consistência exige que a função $N(\gamma)$ assuma uma forma específica de lei de potência ($N \propto \gamma^n$), restringindo a matéria mimetizada a fluidos perfeitos barotrópicos com $w$ constante.

• Equações de Einstein Modificadas: As componentes espaciais das equações de Einstein são modificadas por termos proporcionais a $N'(\gamma)/N$. As identidades de Bianchi são usadas para derivar a componente $00$, que contém uma constante de integração $C(x^\alpha)$ representando a densidade de energia efetiva $\varepsilon = C/(\sqrt{\gamma}N)$.

• Perturbações Cosmológicas:

  • Os autores derivam as equações de evolução para os potenciais invariantes de gauge $\Phi$ e $\Psi$.
  • Para um background do tipo radiação ($N = \gamma^{1/6}$), a equação de evolução para o potencial $\Phi$ é idêntica à da Relatividade Geral: $\Phi'' + 4H\Phi' - \frac{1}{3}\Delta\Phi = 0$.
  • No entanto, a relação entre os potenciais métricos e as variáveis físicas muda. Especificamente, a condição $B=0$ (parte do gauge longitudinal) não pode ser satisfeita simultaneamente com $E=0$ porque a liberdade de gauge é parcialmente fixada pela condição $N=N(\gamma)$.
  • Consequentemente, embora a evolução dinâmica dos potenciais invariantes de gauge coincida com a RG, a interpretação desses potenciais é distinta. A identificação padrão de $\Phi$ com o potencial Newtoniano é obstruída porque o gauge conformal-newtoniano não pode ser plenamente realizado.

Significância e Alegações
O artigo alega fornecer uma nova perspectiva sobre o setor escuro do universo ao mostrar que componentes de matéria padrão (poeira, radiação, constante cosmológica) podem ser obtidos de uma maneira "puramente geométrica" através da escolha específica da função de lapse na gravidade unimodular.

Os autores afirmam que, embora a evolução cosmológica de background e a dinâmica de perturbação recuperem os resultados da Relatividade Geral (em termos de variáveis invariantes de gauge), a interpretação física é distinta. A incapacidade de utilizar o padrão de gauge longitudinal implica que o mapeamento entre os potenciais matemáticos e os potenciais gravitacionais observáveis é alterado.

O estudo conclui modestamente, observando que, para distinguir totalmente a GUR da RG de forma observacional, é necessária uma análise mais completa envolvendo observáveis cosmológicos e a inclusão de matéria comum (componentes bariônicos e radiativos). Essas extensões são identificadas como sujeitos para trabalhos futuros, em vez de alegações feitas no presente estudo.