Generalized Unimodular Gravity and Cosmological Perturbations

技術要約：一般化単一モジュラー重力と宇宙論的摂動

問題提起
本論文は、アインシュタインが提唱したオリジナルの単一モジュラー重力の拡張である、一般化単一モジュラー重力（GUG）の理論的枠組みを取り扱う。標準的な単一モラー重力では、時空計量の行列式は一定（$g = -1$）に固定されており、これは体積保存型微分同相写像に制限を課し、宇宙定数として機能する積分定数を導入する。著者らは、ラプスの関数 $N$ が独立なラグランジュ未定乗数として扱われるのではなく、空間計量の行列式 $\gamma$ の特定の関数（すなわち $N = N(\gamma)$）として定義される、より広いクラスの理論を調査している。中心となる問題は、この制約がアインシュタイン方程式をどのように修正するか、また、純粋に幾何学的な項から有効な物質成分（「ダークセクター」）を自然に生成できるか、そして宇宙論的摂動が一般相対性理論（GR）と比較してどのように振る舞うかを決定することである。

手法
著者らは、ラプス関数 $N$ を自由変数ではなく、空間計量行列式の固定された関数として扱う、ADM形式内でのハミルトニアン的アプローチを採用している。

1. 背景解析： 著者らは、$N = N(\gamma)$ という制約の下でヒルベルト・アインシュタイン作用を変分することにより、修正されたアインシュタイン方程式を導出している。これにより、方程式の数が10個から9個へと減少する（$00$ 成分である超ハミルトニアン制約が欠落するため）。欠落した方程式は、特定の重力理論に依存しない純粋に幾何学的な制約として扱われるビアンキ恒等式を用いて回収される。
2. 宇宙論的背景： この形式は、平坦なフリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）宇宙に適用される。著者らは、得られた第一積分を分析し、関数 $N(\gamma)$ の選択によって生成される有効エネルギー密度および状態方程式を特定する。
3. 摂動論： 著者らは、ゲージ不変な形式（バーディーンらによるもの）を用いて、スカラー摂動を研究する。彼らは、GUGの枠組みが計量摂動に課す制約を具体的に検討し、ラプスの関数が固定されているために、標準的な共形ニュートン（縦長）ゲージを完全に課すことができない点に注目する。

主要な貢献と結果

• 物質の幾何学的起源： 主要な結果は、超ハミルトニアン制約の緩和が、フリードマン方程式における有効エネルギー密度項の出現につながることである。この項は、ラプス関数と空間計量行列式の間の幾何学的関係から純粋に生じる。

  • もし $N = 1$ であれば、有効な物質はダスト（$w=0$）として振る舞う。
  • もし $N = \gamma^{-1/2}$ であれば（標準的な単一モジュラー条件に相当）、有効な物質は宇宙定数（$w=-1$）として振る舞う。
  • 一般に、$N = \gamma^{w/2}$ の場合、理論は状態方程式 $p = w\varepsilon$ を持つ完全流体に擬似的に一致する。
  • 著者らは、非一様なシナリオにおいては、整合性を保つために $N(\gamma)$ が特定のべき乗形式（$N \propto \gamma^n$）をとる必要があり、それによって模倣される物質が一定の $w$ を持つバロトロピックな完全流体に制限されることを示している。

• 修正されたアインシュタイン方程式： 空間成分のアインシュタイン方程式は、$N'(\gamma)/N$ に比例する項によって修正される。ビアンキ恒等式は、$00$成分を導出するために使用され、そこには有効エネルギー密度$\varepsilon = C/(\sqrt{\gamma}N)$を表す積分定数$C(x^\alpha)$ が含まれる。

• 宇宙論的摂動：

  • 著者らは、ゲージ不変なポテンシャル $\Phi$ および $\Psi$ の進化方程式を導出している。
  • 放射的な背景（$N = \gamma^{1/6}$）の場合、ポテンシャル $\Phi$ の進化方程式は、一般相対性理論におけるものと同一である：$\Phi'' + 4H\Phi' - \frac{1}{3}\Delta\Phi = 0$。
  • しかし、計量ポテンシャルと物理量の関係は変化する。具体的には、縦長ゲージの一部である $B=0$ という条件を、$E=0$ と同時に満たすことはできない。これは、$N=N(\gamma)$ という条件によってゲージの自由度が部分的に固定されているためである。
  • したがって、ゲージ不変なポテンシャルの動力学的な進化はGRと一致するものの、これらのポテンシャルの解釈は異なる。標準的な共形ニュートンゲージを完全に実現できないため、$\Phi$ をニュートンポテンシャルと同一視するという標準的な識別が妨げられる。

意義と主張
本論文は、単一モジュラー重力におけるラプス関数の特定の選択を通じて、標準的な物質成分（ダスト、放射、宇宙定数）が「純粋に幾何学的な方法」で得られることを示すことで、宇宙のダークセクターに関する新しい視点を提供すると主張している。

著者らは、背景の宇宙論的進化および（ゲージ不変な変数としての）摂動の動力学は一般相対性理論の結果を回収する一方で、その物理的解釈は異なると断言している。標準的な縦長ゲージを使用できないことは、数学的なポテンシャルと観測可能な重力ポテンシャルの間のマッピングが変化していることを意味する。

本研究は、GUGを観測的にGRから完全に区別するためには、宇宙論的な観測量を用いたより完全な分析と、通常の物質（バリオンおよび放射成分）の導入が必要であることを述べ、控えめに結論づけている。これらの拡張は、現在の研究における主張ではなく、将来の研究課題として特定されている。