Generalized Unimodular Gravity and Cosmological Perturbations

技术摘要：广义单模引力与宇宙学摄动

问题陈述
本文探讨了广义单模引力（Generalized Unimodular Gravity, GUG）的理论框架，这是对爱因斯坦提出的原始单模引力的扩展。在标准单模引力中，时空度规的行列式被固定为常数（$g = -1$），这限制了理论仅适用于体积保持型微分同胚，并引入了一个作为宇宙学常数的积分常数。作者研究了一类更广泛的理论，其中劳普斯函数（lapse function）$N$ 不再被视为独立的拉格朗日乘子，而是被定义为空间度规行列式 $\gamma$ 的特定函数（即 $N = N(\gamma)$）。核心问题在于确定这种约束如何修改爱因斯坦方程，它是否能通过纯几何项自然地产生有效的物质组分（“暗部门”），以及宇宙学摄动在该框架下的行为与广义相对论（GR）相比有何不同。

研究方法
作者在 ADM 形式体系内采用了一种类哈密顿方法，将劳普斯函数 $N$ 处理为空间度量行列式 $\gamma$ 的固定函数，而非自由变量。

1. 背景分析： 他们通过在 $N = N(\gamma)$ 的约束下对希尔伯特-爱因斯坦作用量进行变分，推导出了修正后的爱因斯坦方程。这使得独立方程的数量从 10 个减少到 9 个，因为 $00$ 分量（超哈密顿约束）缺失了。缺失的方程通过比安基恒等式（Bianchi identities）进行恢复，而比安基恒等式被视为与特定引力理论无关的纯几何约束。
2. 宇宙学背景： 该形式体系被应用于平坦的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）宇宙。作者通过分析所得的一阶积分，来识别由 $N(\gamma)$ 函数的选择所产生的有效能量密度和状态方程。
3. 摄动理论： 作者利用规范不变形式（遵循 Bardeen 等人的方法）来研究标量摄动。他们特别检查了 GUG 框架对度规摄动施加的约束，指出由于劳普斯函数的固定性质，标准的共形-牛顿（纵向）规范无法被完全施加。

主要贡献与结果

• 物质的几何起源： 主要结果是，放宽超哈密顿约束导致了弗里德曼方程中出现了一个有效能量密度项。该项纯粹源于劳普斯函数与空间度规行列式之间的几何关系。

  • 如果 $N = 1$，有效物质表现为尘埃（$w=0$）。
  • 如果 $N = \gamma^{-1/2}$（等价于标准单模条件），有效物质表现为宇宙学常数（$w=-1$）。
  • 通常情况下，对于 $N = \gamma^{w/2}$，该理论模拟了一个具有状态方程 $p = w\varepsilon$ 的完美流体。
  • 作者证明，对于非均匀场景，一致性要求函数 $N(\gamma)$ 必须采取特定的幂律形式（$N \propto \gamma^n$），从而将模拟的物质限制为具有常数 $w$ 的巴洛特罗派克（barotropic）完美流体。

• 修正的爱因斯坦方程： 空间部分的爱因斯坦方程被正比于 $N'(\gamma)/N$ 的项所修改。比安基恒等式被用于导出 $00$分量，其中包含一个代表有效能量密度的积分常数$C(x^\alpha)$，即$\varepsilon = C/(\sqrt{\gamma}N)$。

• 宇宙学摄动：

  • 作者推导了规范不变势 $\Phi$ 和 $\Psi$ 的演化方程。
  • 对于辐射类背景（$N = \gamma^{1/6}$），势 $\Phi$ 的演化方程与广义相对论一致：$\Phi'' + 4H\Phi' - \frac{1}{3}\Delta\Phi = 0$。
  • 然而，度规势与物理变量之间的关系发生了变化。具体而言，由于规范自由度受到 $N=N(\gamma)$ 条件的部分限制，无法同时满足 $B=0$（纵向规范的一部分）和 $E=0$ 的条件。
  • 因此，尽管规范不变势的动力学演化与 GR 匹配，但这些势的物理诠释却有所不同。标准将 $\Phi$ 与牛顿势相联系的做法受到了阻碍，因为共形-牛顿规范无法完全实现。

意义与主张
本文声称通过在单模引力中通过劳普斯函数的特定选择，为宇宙的暗部门提供了一个新的视角，展示了标准物质组分（尘埃、辐射、宇宙学常数）可以以一种“纯几何方式”获得。

作者断言，虽然背景宇宙学演化和摄动动力学（在规范不变变量方面）恢复了广义相对论的结果，但其物理诠释是截然不同的。无法使用标准纵向规范意味着数学势与可观测引力势之间的映射发生了改变。

该研究结论较为审慎，指出要通过观测完全区分 GUG 与 GR，需要进行更完整的分析，包括纳入宇宙学观测量以及普通物质（重子和辐射组分）。这些扩展被确定为未来的研究课题，而非当前研究的主张。