The weighted $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities for the curl-free vector fields and second order derivatives: The sharp constants and stability estimates

Resumo Técnico: Desigualdades de Caffarelli-Kohn-Nirenberg $L^2$ Ponderadas para Campos Vetoriais Livres de Rotacional e Derivadas de Segunda Ordem

Enunciado do Problema
Este artigo investiga as desigualdades de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) $L^2$ ponderadas, focando especificamente em dois contextos distintos, mas relacionados:

1. Campos vetoriais livres de rotacional: Estabelecimento de constantes nítidas e estimativas de estabilidade para desigualdades envolvendo o gradiente de um campo vetorial $U$ (onde $U = \nabla u$) e normas ponderadas.
2. Derivadas de segunda ordem: Prova de desigualdades nítidas e estimativas de estabilidade envolvendo o Laplaciano $\Delta u$ e o gradiente $\nabla u$ com parâmetros de peso gerais $a$ e $b$.

Embora constantes nítidas para desigualdades CKN de primeira ordem e casos específicos de desigualdades de segunda ordem (por exemplo, o princípio da incerteza de Heisenberg-Pauli-Weyl) tenham sido estabelecidas anteriormente por autores como Cazacu, Flynn, Lam e outros, este trabalho aborda a lacuna na prova dessas desigualdades para parâmetros gerais $a$ e $b$ no cenário de segunda ordem e fornece as primeiras estimativas de estabilidade para as desigualdades CKN ponderadas de campos vetoriais livres de rotacional.

Metodologia
Os autores empregam uma abordagem analítica rigorosa centrada em três ferramentas principais:

1. Decomposição em Harmônicos Esféricos: O método principal envolve a decomposição de funções $u$ e campos vetoriais $U$ em componentes radiais e não radiais usando harmônicos esféricos. Isso reduz as desigualdades multidimensionais a uma família de desigualdades integrais unidimensionais indexadas pelo grau $k$ dos harmônicos esféricos.
2. Desigualdades Integrais Unidimensionais: O cerne da prova reside no estabelecimento de desigualdades ponderadas nítidas para funções de uma única variável. Os autores utilizam um lemma específico (Lemma 2.2) que fornece constantes nítidas para desigualdades da forma:
   $$\left( \int_0^\infty (f')^2 r^{A-1} dr + C \int_0^\infty f^2 r^{A-3} dr \right) \int_0^\infty f^2 r^{B-1} dr \geq K \left( \int_0^\infty f^2 r^{\frac{A+B}{2}-2} dr \right)^2$$
   Eles determinam a constante ótima $K$ e as funções extremais explicitamente.
3. Análise de Estabilidade via Decomposição Ortogonal: Para provar a estabilidade (quantificando o quão próximo uma função está do conjunto de extremais quando a desigualdade é quase saturada), os autores decompõem a função em uma parte radial ($u_r$) e uma parte ortogonal às funções radiais ($u_o$). Eles demonstram que a constante nítida pode ser estritamente melhorada para a parte não radial (Lemma 4.1 e Lemma 5.1). Esse "hiato" permite limitar a distância da função do conjunto de extremais em termos do déficit da desigualdade.

Principais Contribuições e Resultados

1. Desigualdades CKN de Segunda Ordem Ponderadas Nítidas (Teorema 1.1)
Os autores provam uma nova família de desigualdades CKN $L^2$ ponderadas nítidas para derivadas de segunda ordem. Para $n \geq 2$ e parâmetros $a, b$ satisfazendo condições específicas (incluindo $(n-2a-2)^2 \geq 8(1+a)(1+2a)$), eles estabelecem:
$$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\Delta u|^2}{|x|^{2a}} dx \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u|^2}{|x|^{2b}} dx \geq C_2(n, a, b)^2 \left( \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u|^2}{|x|^{a+b+1}} dx \right)^2$$

• Constante Nítida: $C_2(n, a, b) = \frac{|a-b+1| + |n+2a|}{2}$.
• Funções Extremais: A igualdade é atingida por funções radiais específicas definidas via integrais envolvendo termos exponenciais e de potência (Equação 1.11).
• Significância: Este resultado complementa o trabalho anterior de Cazacu, Flynn e Lam (2023) e Duong e Nguyen (2025) ao cobrir uma gama mais ampla de parâmetros e lidar explicitamente com o termo do Laplaciano de segunda ordem em vez de apenas o gradiente do campo vetorial.

2. Estabilidade para Campos Vetoriais Livres de Rotacional (Teorema 1.3)
O artigo estabelece uma versão de estabilidade para a desigualdade CKN ponderada para campos vetoriais livres de rotacional $U = \nabla u$. Ele prova que, se o "déficit" (a diferença entre os lados esquerdo e direito da desigualdade) for pequeno, o campo vetorial $U$ está próximo do conjunto de campos vetoriais extremais $M_{a,b}$ em uma norma $L^2$ ponderada.

• Resultado: $\delta(U) \geq C \inf_{V \in M_{a,b}} \frac{\|U-V\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}{\|U\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}$.
• Consequências: Isso produz versões de estabilidade para o princípio da incerteza de Heisenberg-Pauli-Weyl ponderado e para o princípio da incerteza de Hidrogênio ponderado para campos vetoriais livres de rotacional (Corolários 1.4 e 1.5).

3. Estabilidade para Derivadas de Segunda Ordem (Teorema 1.7)
Estendendo a análise de estabilidade para a desigualdade de segunda ordem provada no Teorema 1.1, os autores mostram uma estimativa de estabilidade semelhante para funções $u \in Y_{a,b}(\mathbb{R}^n)$.

• Resultado: $\delta_{CKN}(u) \geq C \inf_{v \in N_{a,b}} \frac{\|\nabla u - \nabla v\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}{\|\nabla u\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}$.
• Consequências: Isso fornece estimativas de estabilidade para os princípios da incerteza de Heisenberg-Pauli-Weyl e de Hidrogênio ponderados de segunda ordem (Corolários 1.8 e 1.9).

Significância e Alegações
Os autores posicionam este trabalho como um avanço significativo na teoria das desigualdades funcionais:

• Generalização: Diferentemente de resultados anteriores que eram frequentemente restritos a intervalos específicos de parâmetros (por exemplo, $b = -a-1$) ou dependiam de métodos como "expandir o quadrado", que são difíceis de generalizar, este artigo utiliza a decomposição em harmônicos esféricos para lidar com parâmetros gerais $a$ e $b$.
• Estabilidade: O artigo afirma fornecer as primeiras estimativas de estabilidade para as desigualdades CKN ponderadas especificamente para campos vetoriais livres de rotacional e para o caso de derivada de segunda ordem com pesos gerais. Resultados de estabilidade anteriores estavam amplamente confinados à desigualdade de Sobolev padrão ou a princípios de incerteza específicos sem pesos ou com parâmetros restritos.
• Rigor Metodológico: O trabalho demonstra o poder de combinar a decomposição em harmônicos esféricos com problemas variacionais unidimensionais para derivar constantes nítidas e estimativas de estabilidade, uma técnica que os autores observam ser eficaz para estudar formas nítidas de desigualdades funcionais.

O artigo conclui observando que, embora a constante $C$ nas estimativas de estabilidade seja explicitamente computável, ela não é necessariamente ótima, deixando espaço para refinamentos futuros. Os resultados recuperam casos conhecidos (como os princípios da incerteza padrão quando $a=0$) como instâncias especiais do framework mais geral apresentado.