The weighted $L^2$-Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities for the curl-free vector fields and second order derivatives: The sharp constants and stability estimates

Résumé Technique : Inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg $L^2$ pondérées pour les champs de vecteurs sans rotation et les dérivées du second ordre

Énoncé du Problème
Cet article étudie les inégalités de Caffarelli-Kohn-Nirenberg (CKN) $L^2$ pondérées, en se concentrant spécifiquement sur deux contextes distincts mais liés :

1. Champs de vecteurs sans rotation (curl-free) : Établir des constantes nettes et des estimations de stabilité pour les inégalités impliquant le gradient d'un champ de vecteurs $U$ (où $U = \nabla u$) et des normes pondérées.
2. Dérivées du second ordre : Prouver des inégalités nettes et des estimations de stabilité impliquant le Laplacien $\Delta u$ et le gradient $\nabla u$ avec des paramètres de poids généraux $a$ et $b$.

Bien que les constantes nettes pour les inégalités CKN du premier ordre et certains cas spécifiques d'inégalités du second ordre (par exemple, le principe d'incertitude de Heisenberg-Pauli-Weyl) aient été établies précédemment par des auteurs tels que Cazacu, Flynn, Lam et d'autres, ce travail comble la lacune consistant à prouver ces inégalités pour des paramètres généraux $a$ et $b$ dans le cadre du second ordre et fournit les premières estimations de stabilité pour les inégalités CKN pondérées de champs de vecteurs sans rotation.

Méthodologie
Les auteurs emploient une approche analytique rigoureuse centrée sur trois outils principaux :

1. Décomposition en harmoniques sphériques : La méthode principale consiste à décomposer les fonctions $u$ et les champs de vecteurs $U$ en composantes radiales et non radiales à l'aide des harmoniques sphériques. Cela réduit les inégalités multidimensionnelles à une famille d'inégalités intégrales unidimensionnelles indexées par le degré $k$ des harmoniques sphériques.
2. Inégalités intégrales unidimensionnelles : Le cœur de la preuve repose sur l'établissement d'inégalités pondérées nettes pour des fonctions d'une seule variable. Les auteurs utilisent un lemme spécifique (Lemme 2.2) qui fournit des constantes nettes pour des inégalités de la forme :
   $$\left( \int_0^\infty (f')^2 r^{A-1} dr + C \int_0^\infty f^2 r^{A-3} dr \right) \int_0^\infty f^2 r^{B-1} dr \geq K \left( \int_0^\infty f^2 r^{\frac{A+B}{2}-2} dr \right)^2$$
   Ils déterminent la constante optimale $K$ et les fonctions extrémales de manière explicite.
3. Analyse de stabilité via la décomposition orthogonale : Pour prouver la stabilité (quantifier la proximité d'une fonction avec l'ensemble des extrémaux lorsque l'inégalité est presque saturée), les auteurs décomposent la fonction en une partie radiale ($u_r$) et une partie orthogonale aux fonctions radiales ($u_o$). Ils démontrent que la constante nette peut être strictement améliorée pour la partie non radiale (Lemme 4.1 et Lemme 5.1). Cet « écart » permet de borner la distance de la fonction par rapport à l'ensemble des extrémaux en termes du déficit de l'inégalité.

Contributions Clés et Résultats

1. Inégalités CKN de second ordre pondérées nettes (Théorème 1.1)
Les auteurs prouvent une nouvelle famille d'inégalités CKN $L^2$ pondérées nettes pour les dérivées du second ordre. Pour $n \geq 2$ et des paramètres $a, b$ satisfaisant des conditions spécifiques (incluant $(n-2a-2)^2 \geq 8(1+a)(1+2a)$), ils établissent :
$$\int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\Delta u|^2}{|x|^{2a}} dx \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u|^2}{|x|^{2b}} dx \geq C_2(n, a, b)^2 \left( \int_{\mathbb{R}^n} \frac{|\nabla u|^2}{|x|^{a+b+1}} dx \right)^2$$

• Constante Nette : $C_2(n, a, b) = \frac{|a-b+1| + |n+2a|}{2}$.
• Fonctions Extrémales : L'égalité est atteinte par des fonctions radiales spécifiques définies via des intégrales impliquant des termes exponentiels et de puissance (Équation -1.11).
• Signification : Ce résultat complète les travaux précédents de Cazacu, Flynn et Lam (2023) et Duong et Nguyen (2025) en couvrant une gamme plus large de paramètres et en traitant explicitement le terme du Laplacien du second ordre plutôt que simplement le gradient du champ de vecteurs.

2. Stabilité pour les champs de vecteurs sans rotation (Théorème 1.3)
L'article établit une version de stabilité pour l'inégalité CKN pondérée pour les champs de vecteurs sans rotation $U = \nabla u$. Il prouve que si le « déficit » (la différence entre les deux côtés de l'inégalité) est faible, le champ de vecteurs $U$ est proche de l'ensemble des champs de vecteurs extrémaux $M_{a,b}$ dans une norme $L^2$ pondérée.

• Résultat : $\delta(U) \geq C \inf_{V \in M_{a,b}} \frac{\|U-V\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}{\|U\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}$.
• Conséquences : Cela produit des versions de stabilité pour le principe d'incertitude de Heisenberg-Pauli-Weyl pondéré et le principe d'incertitude de l'Hydrogène pondéré pour les champs de vecteurs sans rotation (Corollaires 1.4 et 1.5).

3. Stabilité pour les dérivées du second ordre (Théorème 1.7)
Étendant l'analyse de stabilité au second ordre prouvé dans le Théorème 1.1, les auteurs montrent une estimation de stabilité similaire pour les fonctions $u \in Y_{a,b}(\mathbb{R}^n)$.

• Résultat : $\delta_{CKN}(u) \geq C \inf_{v \in N_{a,b}} \frac{\|\nabla u - \nabla v\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}{\|\nabla u\|_{L^2(|x|^{a+b+1})}^2}$.
• Conséquences : Cela fournit des estimations de stabilité pour les principes d'incertitude de Heisenberg-Pauli-Weyl et de l'Hydrogène pondérés du second ordre (Corollaires 1.8 et 1.9).

Signification et Revendications
Les auteurs positionnent ce travail comme une avancée significative dans la théorie des inégalités fonctionnelles :

• Généralisation : Contrairement aux résultats précédents qui étaient souvent restreints à des plages de paramètres spécifiques (par exemple, $b = -a-1$) ou reposaient sur des méthodes telles que « l'expansion du carré » (difficiles à généraliser), ce papier utilise la décomposition en harmoniques sphériques pour traiter les paramètres $a$ et $b$ généraux.
• Stabilité : Le papier affirme fournir les premières estimations de stabilité pour les inégalités CKN pondérées spécifiquement pour les champs de vecteurs sans rotation et pour le cas des dérivées du second ordre avec des poids généraux. Les résultats de stabilité précédents étaient largement confinés à l'inégalité de Sobolev standard ou à des principes d'incertitude spécifiques sans poids ou avec des paramètres restreints.
• Rigueur Méthodologique : Le travail démontre la puissance de la combinaison de la décomposition en harmoniques sphériques et des problèmes variationnels unidimensionnels pour dériver des constantes nettes et des estimations de stabilité, une technique que les auteurs notent comme étant efficace pour étudier les formes nettes des inégalités fonctionnelles.

L'article conclut en notant que bien que la constante $C$ dans les estimations de stabilité soit explicitement calculable, elle n'est pas nécessairement optimale, laissant place à des raffinements futurs. Les résultats récupèrent les cas connus (tels que les principes d'incertitude standards lorsque $a=0$) comme des instances particulières du cadre plus général présenté.