A New Sine Type II Topp-Leone Frechet Distribution for Modelling Life-Time Data: Theoretical Development and Applications

Resumo Técnico: Uma Nova Distribuição de Frechet do Tipo II Sine Topp-Leone para Modelagem de Dados de Tempo de Vida

Definição do Problema
A distribuição de Frechet, introduzida por Fréchet em 1924, é uma ferramenta padrão para modelar valores extremos e dados de tempo de vida em campos como engenharia, ciência atuarial e medicina. No entanto, conforme observado na literatura, as distribuições tradicionais carecem da flexibilidade necessária para capturar a complexidade de conjuntos de dados modernos e diversos. Embora existam inúmeras extensões da distribuição de Frechet (por exemplo, variantes exponencial, beta e transmutadas), permanece a necessidade de modelos mais adaptáveis que possam melhor ajustar fenômenos de tempo de vida complexos. Este estudo aborda a necessidade de uma distribuição mais flexível, capaz de modelar dados de tempo de vida complexos com maior eficiência do que os modelos de Frechet de dois parâmetros existentes.

Metodologia
Os autores introduzem uma nova distribuição contínua denominada distribuição Sine Type II Topp-Leone Frechet (STIITLF). Este modelo é construído aplicando a geradora da família Sine Type II Topp-Leone-G (STIITL-G), proposta por Isa et al. (2023), à distribuição de Frechet base.

• Formulação Teórica: A distribuição STIITLF é definida por três parâmetros positivos: dois parâmetros de forma ($\alpha, \lambda$) e um parâmetro de escala ($\theta$). A função de distribuição acumulada (CDF) e a função de densidade de probabilidade (PDF) são derivadas substituindo a CDF e a PDF de Frechet nas equações da geradora STIITL-G.
• Derivações Matemáticas: O artigo utiliza expansões de séries de Maclaurin para funções seno e cosseno, combinadas com expansões binomiais, para derivar representações lineares da PDF e da CDF. Essas expansões facilitam a derivação de propriedades estatísticas fundamentais, incluindo:
  • Momentos e Função Geradora de Momentos (MGF): Fórmulas explícitas para os $r$-ésimos momentos e a MGF são derivadas usando a PDF linearizada.
  • Funções de Confiabilidade e de Risco (Hazard): Fórmulas para a função de sobrevivência e a taxa de risco são estabelecidas.
  • Função Quantil: A inversa da CDF é derivada para permitir o cálculo de quantis e da mediana.
  • Estatísticas de Ordem: As PDFs para a $r$-ésima estatística de ordem, bem como para o mínimo e o máximo das estatísticas de ordem, são formuladas.
• Estimação de Parâmetros: Os parâmetros da distribuição STIITLF são estimados através do método de Máxima Verossimilhança (MLE). A função de log-verossimilhança é derivada, e as equações simultâneas não lineares resultantes são resolvidas numericamente usando o algoritmo Newton-Raphson via função optim no software R.
• Validação: Um estudo de simulação de Monte Carlo é conduzido para avaliar o desempenho dos MLEs. O estudo avalia o viés e o Erro Quadrático Médio (RMSE) em diferentes tamanhos de amostra ($n = 20$ a $250$) e configurações de parâmetros.

Principais Contribuições

1. Nova Distribuição: A principal contribuição é a proposta da distribuição STIITLF, que estende a clássica distribuição de Frechet ao incorporar dois parâmetros adicionais derivados da família Sine Type II Topp-Leone.
2. Caracterização Estatística: O artigo fornece um arcabouço teórico abrangente para a nova distribuição, incluindo expressões de forma fechada (via séries infinitas) para seus momentos, MGF, confiabilidade, risco, quantis e estatísticas de ordem.
3. Estrutura de Estimação: O estudo estabelece o procedimento de MLE para o novo modelo e valida a consistência e eficiência dos estimadores através de simulação.

Resultados

• Estudo de Simulação: Os resultados da simulação (Tabela 1) demonstram que, à medida que o tamanho da amostra aumenta, o viés e o RMSE dos parâmetros estimados diminuem, aproximando-se de zero. Isso indica que os MLEs para a distribuição STIITLF são consistentes e eficientes.
• Aplicações em Dados Reais: O desempenho do modelo foi testado em dois conjuntos de dados da vida real:
  1. Resistência de Fibra de Carbono: Dados de resistência à tração de fibras de carbono (Bi e Gui, 2017).
  2. Tempo de Sobrevivência ao Câncer de Mama: Dados de sobrevivência de 121 pacientes (Ramos et al., 2013).
• Análise Comparativa: A distribuição STIITLF foi comparada com quatro modelos concorrentes: Gompertz Frechet (GoFr), Exponentiated Frechet (ExFr), Type II Topp-Leone Frechet (TIITLF) e a distribuição de Frechet (Fr) clássica.
  • Conjunto de Dados 1: O modelo STIITLF apresentou a maior Log-Verossimilhança (LL = -56.4231) e o menor Critério de Informação de Akaike (AIC = 118.8462), superando todos os competidores.
  • Conjunto de Dados 2: Da mesma forma, para os dados de câncer de mama, o modelo STIITLF alcançou o melhor ajuste com um LL de -596.3071 e um AIC de 1198.614, significativamente inferior aos valores de AIC dos modelos TIITLF, GoFr, ExFr e Fr.
  • Inspeções visuais das PDFs ajustadas (Figuras 3 e 4) confirmaram adicionalmente o ajuste superior da distribuição STIITLF.

Significância e Alegações
O artigo alega que a distribuição STIITLF oferece uma melhoria significativa na eficiência de modelagem para dados de tempo de vida complexos em comparação com os modelos baseados em Frechet existentes. Ao estender a distribuição de Frechet de dois parâmetros para um modelo de três parâmetros, os autores argumentam que a nova distribuição proporciona maior flexibilidade para capturar diversas características de dados, particularmente dados assimétricos.

Os autores concluem que a distribuição STIITLF é uma ferramenta robusta e versátil para modelagem estatística. Com base nas estatísticas de ajuste (Log-Verossimilhança e AIC) e nos resultados da simulação, eles recomendam a adoção da distribuição STIITLF para a modelagem de conjuntos de dados de tempo de vida complexos onde alta eficiência de modelo e confiabilidade são desejadas. O estudo posiciona a STIITLF como uma alternativa superior à Frechet clássica e suas variantes recentes para aplicações em engenharia, ciências médicas e análise de confiabilidade.