A New Sine Type II Topp-Leone Frechet Distribution for Modelling Life-Time Data: Theoretical Development and Applications

Technische Samenvatting: Een nieuwe Sine Type II Topp-Leone Frechet-verdeling voor het modelleren van levensduurgegevens

Probleemstelling
De Frechet-verdeling, geïntroduceerd door Fréchet in 1924, is een standaardinstrument voor het modelleren van extreme waarden en levensduurgegevens binnen de techniek, actuariële wetenschappen en medische velden. Echter, zoals vermeld in de literatuur, missen traditionele verdelingen vaak de flexibiliteit die vereist is om de complexiteit van moderne, diverse datasets te vatten. Hoewel er talrijke uitbreidingen van de Frechet-verdeling bestaan (bijv. exponentiële, bèta- en getransformeerde varianten), blijft er een behoefte aan meer aanpasbare modellen die complexe levensduurfenomenen beter kunnen vatten dan bestaande twee-parameter Frechet-modellen. Deze studie adresseert de behoefte aan een flexibeler model dat in staat is om complexe levensduurgegevens met een hogere efficiëntie te modelleren dan bestaande twee-parameter Frechet-modellen.

Methodologie
De auteurs introduceren een nieuwe continue kansverdeling genaamd de Sine Type II Topp-Leone Frechet (STIITLF) verdeling. Dit model wordt geconstrueerd door de Sine Type II Topp-Leone-G (STIITL-G) familiegenerator, voorgesteld door Isa et al. (2023), toe te passen op de basislijn Frechet-verdeling.

• Theoretische Formulering: De STIITLF-verdeling wordt gedefinieerd door drie positieve parameters: twee vormparameters ($\alpha, \lambda$) en één schaalparameter ($\theta$). De cumulatieve distributiefunctie (CDF) en de kansdichtheidsfunctie (PDF) worden afgeleid door de Frechet CDF en PDF in de STIITL-G generatorvergelijkingen te substitueren.
• Wiskundige Afleidingen: Het artikel maakt gebruik van Maclaurin-reeksontwikkelingen voor sinus- en cosinusfuncties, gecombineerd met binomiale expansies, om lineaire representaties van de PDF en CDF af te leiden. Deze expansies vergemakkelijken de afleiding van belangrijke statistische eigenschappen, waaronder:
  • Momenten en Momentgenererende Functie (MGF): Expliciete formules voor de $r$-de momenten en de MGF worden afgeleid met behulp van de gelinieerde PDF.
  • Betrouwbaarheids- en Gevaarfuncties: Formules voor de overlevingsfunctie en de hazard rate worden vastgesteld.
  • Kwantielfunctie: De inverse CDF wordt afgeleid om de berekening van kwantielen en de mediaan mogelijk te maken.
  • Orde statistieken: De PDF's voor de $r$-de orde statistiek, evenals de minimum- en maximumorde statistieken, worden geformuleerd.
• Parameterschatting: De parameters van de STIITLF-verdeling worden geschat met behulp van de Maximum Likelihood Estimation (MLE) methode. De log-likelihood functie wordt afgeleid, en de resulterende niet-lineaire simultane vergelijkingen worden numeriek opgelost met behulp van het Newton-Raphson algoritme via de optim functie in de R-software.
• Validatie: Een Monte Carlo simulatiestudie wordt uitgevoerd om de prestaties van de MLE's te evalueren. De studie beoordeelt de bias en de Root Mean Square Error (RMSE) over variërende steekproefgroottes ($n = 20$ tot $250$) en parametereinstellungen.

Belangrijkste Bijdragen

1. Nieuwe Verdeling: De primaire bijdrage is het voorstellen van de STIITLF-verdeling, die de klassieke Frechet-verdeling uitbreidt door twee extra parameters te incorporeren die afgeleid zijn van de Sine Type II Topp-Leone familie.
2. Statistische Karakterisering: Het artikel biedt een uitgebreid theoretisch kader voor de nieuwe verdeling, inclusclusief gesloten vorm expressies (via oneindige reeksen) voor de momenten, MGF, betrouwbaarheid, hazard, kwantiel en orde statistieken.
3. Estimatiekader: De studie vestigt de MLE-procedure voor het nieuwe model en valideert de consistentie en efficiëntie van de schatters via simulatie.

Resultaten

• Simulatiestudie: De resultaten van de simulatie (Tabel 1) tonen aan dat naarmate de steekproefomvang toeneemt, de bias en de RMSE van de geschatte parameters afnemen en de nul naderen. Dit geeft aan dat de MLE's voor de STIITLF-verdeling consistent en efficiënt zijn.
• Toepassingen op Real-Life Data: De prestaties van het model werden getest op twee real-life datasets:
  1. Koolstofvezelsterkte: Treksterktegegevens van koolstofvezels (Bi en Gui, 2017).
  2. Borstkanker Overlevingstijden: Overlevingsgegevens van 121 patiënten (Ramos et al., 2013).
• Vergelijkende Analyse: De STIITLF-verdeling werd vergeleken met vier concurrerende modellen: de Gompertz Frechet (GoFr), Exponentiated Frechet (ExFr), Type II Topp-Leone Frechet (TIITLF) en de klassieke Frechet (Fr) verdeling.
  • Dataset 1: Het STIITLF-model leverde de hoogste Log-Likelihood op (LL = -56.4231) en de laagste Akaike Information Criterion (AIC = 118.8462), waarmee het alle concurrenten overtrof.
  • Dataset 2: Voor de borstkankergegevens behaalde het STIITLF-model eveneens de beste fit met een LL van -596.3071 en een AIC van 1198.614, wat significant lager is dan de AIC-waarden van de TIITLF, GoFr, ExFr en Fr modellen.
  • Visuele inspecties van de gefitte PDF's (Figuren 3 en 4) bevestigden verder de superieure fit van de STIITLF-verdeling.

Betekenis en Claims
Het artikel claimt dat de STIITLF-verdeling een significante verbetering biedt in de modellerings-efficiëntie voor complexe levensduurgegevens vergeleken met bestaande Frechet-gebaseerde modellen. Door de twee-parameter Frechet-verdeling uit te breiden naar een drie-parameter model, stellen de auteurs dat de nieuwe verdeling een grotere flexibiliteit biedt bij het vatten van diverse datakenmerken, met name scheve (skewed) data.

De auteurs concluderen dat de STIITLF-verdeling een robuust en veelzijdig instrument is voor statistische modellering. Op basis van de goodness-of-fit statistieken (Log-Likelihood en AIC) en de simulatieresultaten, bevelen zij de adoptie van de STIITLF-verdeling aan voor het modelleren van complexe levensduurdatasets waar een hoge model-efficiëntie en betrouwbaarheid gewenst zijn. De studie positioneert de STIITLF als een superieur alternatief voor de klassieke Frechet en haar recente varianten voor toepassingen in de techniek, medische wetenschappen en betrouwbaarheidsanalyse.