Arithmetic level raising on triple product of Shimura curves and Gross--Kudla--Schoen Diagonal cycles II: Bipartite Euler system

技术摘要：Shimura 曲线三重积上的算术级数提升与 Gross–Kudla–Schoen 对角循环 II：二分欧拉系

问题陈述
本文研究 Shimura 曲线三重积上 Gross–Kudla–Schoen 对角循环的算术性质。主要目标是为这些循环建立“二分欧拉系”结构，具体是在模形式对称立方 motive 的背景下。基于作者先前的工作 [Wang]（该工作验证了第一互反律），本文旨在证明第二互反律。最终目标是利用这些互反律，为对称立方 motive 的 Bloch–Kato 猜想在秩一情形下提供证据。

该问题涉及通过级数提升同余关系，理解对角循环在 Abel–Jacobi 映射下的像与某些周期积分（Gross–Kudla 型）之间的关系。虽然由于秩的原因（局部上同调群的秩为 3 而非 1），全三重积上的 Gross–Kudla–Schoen 循环在 Howard [How] 定义的严格意义上不构成二分欧拉系，但本文证明了它们在对称立方分量上的投影确实满足构成此类系统所需的条件。

方法论
方法论高度依赖于算术几何、伽罗瓦上同调与 Shimura 曲线理论之间的相互作用。

1. 算术级数提升：核心技术工具是发展 Shimura 曲线三重积的非分歧算术级数提升定理。这涉及研究 Shimura 曲线 $X_d$ 及其在 $n$-容许素数 $p$ 处的级数提升对应物 $X_d(p)$ 的上同调。作者利用权谱序列和邻近循环的单值群滤过来分析特殊纤维的上同调。
2. 半稳定模型：为了处理在好约化素数处的级数提升，本文构造了三重积 $X_d(p)^3$ 的严格半稳定模型。这涉及沿特定层吹胀三重积以消除奇点，遵循 Gross 和 Schoen [GS] 以及 Liu [Liu2] 概述的过程。特殊纤维的几何结构通过层的立方体进行描述，从而允许对单值群滤过进行显式计算。
3. 互反律：本文建立了两种不同的互反律：
   • 第一互反律：将分歧素数 $q$ 处对角循环类的奇异剩余与 Gross–Kudla 周期积分联系起来。这在 [Wang] 中已建立，此处予以回顾。
   • 第二互反律：将对角循环类在非分歧素数 $p$ 处的局部化（具体为其有限部分）与相同的 Gross–Kudla 周期积分联系起来。这是本文的主要新结果。
4. 二分欧拉系构造：通过结合两种互反律，作者构造了与容许素数对相关联的上同调类系 $(\Theta_n(f, d), \Theta^{[pq]}_n(f, d))$。本文验证了这些类满足构成二分欧拉系所需的相容性条件（互反律），尽管在局部上同调群秩的意义上属于“较弱意义”。
5. 对称立方投影：结果被特化到三重积由单个模形式 $f$ 构成（即 $f = (f, f, f)$）的情形。作者将对角循环类投影到三重张量积表示的对称立方分量上，记为 $V^\diamond(f)(-1)$。

主要贡献与结果

• 定理 2（非分歧级数提升）：建立了 Shimura 曲线三重积在水平 $N$ 处的上同调与水平 $Np$处（其中$p$为$n$-容许素数）上同调的“新部分”之间的同构。该同构将上同调与 Shimura 集上函数空间的张量积的直和联系起来。
• 定理 3（第二互反律）：证明了对于 $n$-容许素数 $p$，对角循环类 $\Theta_n(f, d)$ 在 $p$ 处的局部化满足与 Gross–Kudla 周期的特定配对公式。具体而言，局部化类的第 $j$ 个分量与函数张量积的配对等于这些函数在对角 Shimura 集 $\Delta_d(B)$ 上的乘积之和。
  $$(\text{loc}^{(j)}_p(\Theta_n(f, d)), \phi_1 \otimes \phi_2 \otimes \phi_3) = \sum_{z \in \Delta_d(B)} \phi_1(z) \otimes \phi_2(z) \otimes \phi_3(z)$$
• 定理 4（Bloch–Kato 猜想的证据）：将构造的二分欧拉系应用于对称立方 motive。本文证明了，如果投影后的对角循环类 $\Theta^\diamond(f, d)$ 非零，则 Bloch–Kato Selmer 群 $H^1_f(\mathbb{Q}, V^\diamond(f)(-1))$ 在系数域上的维数为 1。这为对称立方 motive 的 Bloch–Kato 猜想在秩一情形下提供了条件性证明。

意义与主张
本文声称完成了对 Howard 猜想 [How] 的验证，该猜想认为 Gross–Kudla–Schoen 对角循环是二分欧拉系的来源。虽然全三重积 motive 由于秩的限制无法产生严格的二分欧拉系，但限制到对称立方分量则成功产生了此类系统。

本工作的意义在于：

1. 扩展 Bertolini–Darmon 方法：它将通过级数提升和互反律构造欧拉系的方法（最初是为 Heegner 点开发的）适应于 Shimura 曲线三重积上的对角循环背景。
2. 连接几何与 $L$-函数：互反律将对角循环的 Abel–Jacobi 像（即 $L$-函数一阶导数的代数部分）与 Gross–Kudla 周期（即中心临界值的代数部分）联系起来。这反映了 Gross–Zagier 公式以及 Bertolini–Darmon 的工作。
3. Bloch–Kato 猜想的进展：结果为对称立方 motive 的 Bloch–Kato 猜想在秩一情形下提供了具体证据，这是自守形式算术中的一个重要未解决问题。

作者指出，这些方法足够稳健，有望处理更一般的三重积 motive 并扩展到 Iwasawa 理论背景，尽管这些扩展留待未来工作。本文还将结果定位为 Darmon、Rotger 等人 [DR1, DR2] 证明的 $p$-进互反律的“级数提升”对应物，并承认 Liu、Tian、Xiao、Zhang 和 Zhu [LTX, LTXZZ] 针对其他 motive 的并行发展。