Arithmetic level raising on triple product of Shimura curves and Gross--Kudla--Schoen Diagonal cycles II: Bipartite Euler system

技術的概要：シマウラ曲線の三重積における算術的レベル上げとグロス・クドラ・シェーン対角サイクル II：二部オイラー系

問題の定義
本論文は、シマウラ曲線の三重積上のグロス・クドラ・シェーン対角サイクルの算術的性質を調査する。主な目的は、モジュラー形式の対称立方モティーブの文脈において、これらのサイクルに対して「二部オイラー系」の構造を確立することである。著者の先行研究 [Wang] で最初の相互法則が検証されたことに基づき、本論文は第二の相互法則の証明を目指す。究極的な目標は、これらの相互法則を利用して、対称立方モティーブに関するブルック・カト予想のランク 1 の場合に対する証拠を提供することである。

この問題には、アベル・ヤコビ写像による対角サイクルの像と、レベル上げ合同式を介した特定の周期積分（グロス・クドラ型）との間の関係を理解することが含まれる。ハワード [How] が厳密な意味で定義した二部オイラー系という観点からは、フルな三重積上のグロス・クドラ・シェーンサイクルは、局所コホモロジー群のランクが 1 ではなく 3 であるというランク上の理由により、厳密な意味での二部オイラー系を形成しない。しかし、本論文は、それらの対称立方成分への射影が、そのような系を形成するために必要な条件を満たすことを示している。

手法
手法は、算術幾何学、ガロアコホモロジー、およびシマウラ曲線の理論の間の相互作用に大きく依存している。

1. 算術的レベル上げ：中核的な技術的ツールは、シマウラ曲線の三重積に対する非分岐な算術的レベル上げ定理の発展である。これには、$n$-許容素数 $p$ におけるシマウラ曲線 $X_d$ のコホモロジーと、そのレベル上げ版 $X_d(p)$ のコホモロジーの研究が含まれる。著者は、重みスペクトル系列と近傍サイクルのモノドロミー濾過を利用して、特殊ファイバーのコホモロジーを解析する。
2. 半安定モデル：良い還元を持つ素数におけるレベル上げを処理するために、本論文は三重積 $X_d(p)^3$ に対する厳密な半安定モデルを構成する。これは、グロスとシェーン [GS] および劉 [Liu2] が概説した手順に従い、特異点を解消するために特定のストラタに沿って三重積をブローアップすることを含む。特殊ファイバーの幾何学は、ストラタの立方体を通じて記述され、モノドロミー濾過の明示的な計算を可能にする。
3. 相互法則：本論文は、2 つの異なる相互法則を確立する。
   • 第一の相互法則：分岐素数 $q$ における対角サイクル類の特異残留を、グロス・クドラ周期積分に関連付ける。これは [Wang] で確立され、ここでレビューされる。
   • 第二の相互法則：非分岐素数 $p$ における対角サイクル類の局所化（特にその有限部分）を、同じグロス・クドラ周期積分に関連付ける。これが本論文の主要な新結果である。
4. 二部オイラー系の構成：2 つの相互法則を組み合わせることで、著者は許容素数のペアに関連するコホモロジー類の系 $(\Theta_n(f, d), \Theta^{[pq]}_n(f, d))$ を構成する。本論文は、これらの類が局所コホモロジー群のランクに関する「より弱い意味」においてではあるが、二部オイラー系を形成するために必要な整合性条件（相互法則）を満たすことを検証する。
5. 対称立方への射影：結果は、三重積が単一のモジュラー形式 $f$（すなわち $f = (f, f, f)$）によって形成される場合に特化される。著者は、対角サイクル類を三重テンソル積表現の対称立方成分、すなわち $V^\diamond(f)(-1)$ と表記される成分 onto 射影する。

主要な貢献と結果

• 定理 2（非分岐レベル上げ）：レベル $N$ におけるシマウラ曲線の三重積のコホモロジーと、レベル $Np$（ここで$p$は$n$-許容素数）におけるコホモロジーの「新しい部分」の間の同型を確立する。この同型は、コホモロジーをシマウラ集合上の関数空間のテンソル積の直和に関連付ける。
• 定理 3（第二の相互法則）：$n$-許容素数 $p$ に対して、対角サイクル類 $\Theta_n(f, d)$ の $p$ における局所化が、グロス・クドラ周期との特定のペアリング公式を満たすことを証明する。具体的には、局所化された類の $j$ 番目の成分と関数のテンソル積とのペアリングは、対角シマウラ集合 $\Delta_d(B)$ 上のこれらの関数の積の和に等しい。
  $$(\text{loc}^{(j)}_p(\Theta_n(f, d)), \phi_1 \otimes \phi_2 \otimes \phi_3) = \sum_{z \in \Delta_d(B)} \phi_1(z) \otimes \phi_2(z) \otimes \phi_3(z)$$
• 定理 4（ブルック・カト予想への証拠）：構成された二部オイラー系を対称立方モティーブに適用する。本論文は、射影された対角サイクル類 $\Theta^\diamond(f, d)$ が非ゼロであれば、ブルック・カト・セルマー群 $H^1_f(\mathbb{Q}, V^\diamond(f)(-1))$ が係数体上で次元 1 を持つことを証明する。これは、対称立方モティーブに関するブルック・カト予想のランク 1 の場合に対する条件付き証明を提供する。

意義と主張
本論文は、二部オイラー系の源としてのグロス・クドラ・シェーン対角サイクルに関するハワードの予想 [How] の検証を完了すると主張している。フルな三重積モティーブはランクの制約により厳密な二部オイラー系を生み出さないが、対称立方成分への制限は、そのような系を成功裡に生み出す。

この研究の意義は以下の点にある。

1. ベルトリニー・ダーモンの手法の拡張：ヘグナー点に対して元々開発された、レベル上げと相互法則を通じてオイラー系を構成する手法を、シマウラ曲線の三重積上の対角サイクルの文脈に適応させること。
2. 幾何学と$L$-関数の接続：相互法則は、サイクルのアベル・ヤコビ像を介した$L$-関数の第一導関数の代数的部分と、グロス・クドラ周期を介した中央臨界値の代数的部分を関連付ける。これはグロス・ザギア公式やベルトリニー・ダーモンの研究を反映している。
3. ブルック・カトへの進展：結果は、自己同型形式の算術における重要な未解決問題である、対称立方モティーブに関するブルック・カト予想のランク 1 の場合に対する具体的な証拠を提供する。

著者は、手法がより一般的な三重積モティーブを処理し、イワサワ論的な設定へ拡張するのに十分な頑健さを持っていると指摘しているが、これらの拡張は将来の課題として残されている。また、本論文は、ダーモン、ロトゲル、および他の者たち [DR1, DR2] によって証明された$p$-進相互法則に対する「レベル上げ」の対応物としてその結果を位置づけ、他のモティーブに関する劉、田、小、張、朱 [LTX, LTXZZ] による並行した発展にも言及している。