Arithmetic level raising on triple product of Shimura curves and Gross--Kudla--Schoen Diagonal cycles II: Bipartite Euler system

Resumen Técnico: Elevación de Nivel Aritmética en el Producto Triplo de Curvas de Shimura y Ciclos Diagonales de Gross–Kudla–Schoen II: Sistema de Euler Bipartito

Enunciado del Problema
Este artículo investiga las propiedades aritméticas del ciclo diagonal de Gross–Kudla–Schoen en el producto triplo de curvas de Shimura. El objetivo principal es establecer una estructura de "sistema de Euler bipartito" para estos ciclos, específicamente en el contexto del motivo del cubo simétrico de una forma modular. Basándose en el trabajo anterior del autor [Wang], que verificó la primera ley de reciprocidad, este artículo tiene como objetivo demostrar la segunda ley de reciprocidad. El objetivo final es utilizar estas leyes de reciprocidad para proporcionar evidencia para el caso de rango uno de la conjetura de Bloch–Kato para el motivo del cubo simétrico.

El problema implica comprender la relación entre la imagen del ciclo diagonal bajo el mapa de Abel–Jacobi y ciertas integrales de período (tipo Gross–Kudla) mediante congruencias de elevación de nivel. Si bien los ciclos de Gross–Kudla–Schoen en el producto triplo completo no forman un sistema de Euler bipartito en el sentido estricto definido por Howard [How] debido a razones de rango (los grupos de cohomología local tienen rango 3 en lugar de 1), el artículo demuestra que su proyección sobre el componente del cubo simétrico sí satisface las condiciones necesarias para formar dicho sistema.

Metodología
La metodología depende en gran medida de la interacción entre la geometría aritmética, la cohomología de Galois y la teoría de las curvas de Shimura.

1. Elevación Aritmética de Nivel: La herramienta técnica central es el desarrollo de un teorema de elevación de nivel aritmética no ramificada para el producto triplo de curvas de Shimura. Esto implica estudiar la cohomología de las curvas de Shimura $X_d$ y sus contrapartes elevadas de nivel $X_d(p)$ en un primo $p$ $n$-admisibles. El autor utiliza la sucesión espectral de pesos y la filtración de monodromía de ciclos cercanos para analizar la cohomología de la fibra especial.
2. Modelos Semiestables: Para manejar la elevación de nivel en un primo de buena reducción, el artículo construye un modelo semiestable estricto para el producto triplo $X_d(p)^3$. Esto implica hacer estallido el producto triplo a lo largo de estratos específicos para resolver singularidades, siguiendo el procedimiento delineado por Gross y Schoen [GS] y Liu [Liu2]. La geometría de la fibra especial se describe mediante un cubo de estratos, lo que permite el cálculo explícito de la filtración de monodromía.
3. Leyes de Reciprocidad: El artículo establece dos leyes de reciprocidad distintas:
   • La Primera Ley de Reciprocidad: Relaciona el residuo singular de la clase del ciclo diagonal en un primo ramificado $q$ con una integral de período de Gross–Kudla. Esto se estableció en [Wang] y se revisa aquí.
   • La Segunda Ley de Reciprocidad: Relaciona la localización de la clase del ciclo diagonal en un primo no ramificado $p$ (específicamente su parte finita) con la misma integral de período de Gross–Kudla. Este es el resultado nuevo principal del artículo actual.
4. Construcción del Sistema de Euler Bipartito: Combinando las dos leyes de reciprocidad, el autor construye un sistema de clases de cohomología $(\Theta_n(f, d), \Theta^{[pq]}_n(f, d))$ asociado a pares de primos admisibles. El artículo verifica que estas clases satisfacen las condiciones de compatibilidad requeridas (leyes de reciprocidad) para formar un sistema de Euler bipartito, aunque en un "sentido más débil" con respecto al rango de los grupos de cohomología local.
5. Proyección al Cubo Simétrico: Los resultados se especializan al caso donde el producto triplo está formado por una sola forma modular $f$ (es decir, $f = (f, f, f)$). El autor proyecta las clases del ciclo diagonal sobre el componente del cubo simétrico de la representación del producto tensorial triplo, denotado $V^\diamond(f)(-1)$.

Contribuciones y Resultados Clave

• Teorema 2 (Elevación de Nivel No Ramificada): Establece un isomorfismo entre la cohomología del producto triplo de curvas de Shimura en nivel $N$ y la "parte nueva" de la cohomología en nivel $Np$ (donde $p$ es un primo $n$-admisibles). Este isomorfismo relaciona la cohomología con una suma directa de productos tensoriales de espacios de funciones en conjuntos de Shimura.
• Teorema 3 (Segunda Ley de Reciprocidad): Demuestra que para un primo $n$-admisibles $p$, la localización de la clase del ciclo diagonal $\Theta_n(f, d)$ en $p$ satisface una fórmula de emparejamiento específica con los períodos de Gross–Kudla. Específicamente, el emparejamiento de la $j$-ésima componente de la clase localizada con un producto tensorial de funciones es igual a la suma del producto de estas funciones sobre el conjunto de Shimura diagonal $\Delta_d(B)$.
  $$(\text{loc}^{(j)}_p(\Theta_n(f, d)), \phi_1 \otimes \phi_2 \otimes \phi_3) = \sum_{z \in \Delta_d(B)} \phi_1(z) \otimes \phi_2(z) \otimes \phi_3(z)$$
• Teorema 4 (Evidencia para la Conjetura de Bloch–Kato): Aplica el sistema de Euler bipartito construido al motivo del cubo simétrico. El artículo demuestra que si la clase proyectada del ciclo diagonal $\Theta^\diamond(f, d)$ es no nula, entonces el grupo de Selmer de Bloch–Kato $H^1_f(\mathbb{Q}, V^\diamond(f)(-1))$ tiene dimensión 1 sobre el campo de coeficientes. Esto proporciona una prueba condicional del caso de rango uno de la conjetura de Bloch–Kato para el motivo del cubo simétrico.

Significado y Afirmaciones
El artículo afirma completar la verificación de la conjetura de Howard [How] respecto a los ciclos diagonales de Gross–Kudla–Schoen como fuente de un sistema de Euler bipartito. Si bien el motivo del producto triplo completo no produce un sistema de Euler bipartito estricto debido a restricciones de rango, la restricción al componente del cubo simétrico produce exitosamente dicho sistema.

El significado del trabajo radica en:

1. Extender el Método de Bertolini–Darmon: Adapta el método de construcción de sistemas de Euler mediante elevación de nivel y leyes de reciprocidad (originalmente desarrollado para puntos de Heegner) al contexto de ciclos diagonales en productos triplos de curvas de Shimura.
2. Conectar la Geometría con las Funciones L: Las leyes de reciprocidad relacionan la parte algebraica de la primera derivada de la función L (a través de la imagen de Abel–Jacobi del ciclo) con la parte algebraica del valor crítico central (a través del período de Gross–Kudla). Esto refleja la fórmula de Gross–Zagier y el trabajo de Bertolini–Darmon.
3. Progreso en Bloch–Kato: Los resultados proporcionan evidencia concreta para el caso de rango uno de la conjetura de Bloch–Kato para el motivo del cubo simétrico, un problema abierto significativo en la aritmética de las formas automorfas.

El autor señala que los métodos son lo suficientemente robustos como para manejar potencialmente el motivo del producto triplo más general y extenderse a un contexto teórico de Iwasawa, aunque estas extensiones se reservan para trabajos futuros. El artículo también posiciona sus resultados como la contraparte de "elevación de nivel" de las leyes de reciprocidad $p$-ádicas demostradas por Darmon, Rotger y otros [DR1, DR2], y reconoce desarrollos paralelos de Liu, Tian, Xiao, Zhang y Zhu [LTX, LTXZZ] para otros motivos.