Product of Rankin-Selberg convolutions and a new proof of Jacquet's local converse conjecture

技术摘要：Rankin-Selberg 卷积乘积与 Jacquet 本地逆猜想的新证明

问题陈述
本文探讨了全局和局部域上一般线性群的自守表示与 $L$-函数理论中两个相互关联的问题。

1. 积分的推广： 作者试图构造一族 Rankin-Selberg 型积分，用以表示两个 Rankin-Selberg $L$-函数的乘积，即 $L(s_1, \pi \times \tau_1)L(s_2, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)$，其中 $\pi$ 是 $GL_l$ 的尖点自守表示，而 $\tau_1, \tau_2$ 分别是 $GL_m$ 和 $GL_n$ 的尖点表示，且满足约束条件 $m+n < l$。当 $n=0$ 时，这些积分应退化为经典的 Jacquet–Piatetski-Shapiro–Shalika (JPSS) 积分。
2. Jacquet 本地逆猜想： 本文旨在为 Jacquet 的本地逆猜想提供一个新的证明。该猜想指出，对于两个具有相同中心特征的 $GL_l(F)$（其中 $F$ 是非阿基米德局部域）的不可约生成表示 $\pi_1, \pi_2$，如果对于所有 $1 \le m \le [l/2]$ 的不可约生成表示 $\tau$ 的扭转伽马因子 $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ 均相等，则 $\pi_1 \cong \pi_2$。虽然该猜想此前已被 Chai (2019) 和 Jacquet–Lapid (2018) 所证明，但作者旨在利用其新构造的这一系列积分来证明，这可能提供一个适用于全局逆问题的框架。

方法论
作者结合使用了全局积分构造、局部 Zeta 积分分析以及部分 Bessel 函数的理论。

• 全局构造： 他们定义了一个全局积分 $I_j(\phi, f_s)$，其中 $\phi \in \pi$ 是 $GL_l(\mathbb{A})$ 上的尖点形式，$E(h, f_s)$ 是 $GL_{m+n}(\mathbb{A})$ 上的 Eisenstein 级数。积分是在 $GL_{m+n}(F) \backslash GL_{m+n}(\mathbb{A})$ 上进行的，并涉及 $\phi$ 沿子群 $Y_j \subset GL_l$ 的特定傅里叶系数。嵌入 $\iota_j: GL_{m+n} \to GL_l$ 被精心选择以促进展开过程（unfolding process）。
• 展开与欧拉乘积： 利用尖点形式的傅里叶展开（推广了 Piatetski-Shapiro 和 Shalika 的工作），他们将全局积分展开得到一个欧拉乘积。这涉及计算局部 Zeta 积分 $\Psi(W_v, \xi_{f_s, v}; j)$，该积分代表了局部 $L$-因子的乘积。
• 局部理论： 在局部情形下，他们定义了局部 Zeta 积分，并通过涉及相互作用算子（intertwining operator）的泛函方程建立了局部伽马因子 $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$ 的存在性。他们利用用于处理 Littlewood-Richardson 系数的 hive 模型（由 Knutson 和 Tao 开发）显式地计算了无分歧情况，以证明局部积分等于 $L$-函数的比值：
  $$\Psi(W^0, \xi^0; j) = \frac{L(s_1 + \frac{k-j}{2}, \pi \times \tau_1)L(s_2 - \frac{k-j}{2}, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)}{L(s_1+s_2, \tau_1 \times \tilde{\tau}_2)}$$
  其中 $k = l - m - n - 1 - j$。
• 逆定理证明： 为了证明局部逆定理，作者利用了与 Howe 向量相关的 部分 Bessel 函数（由 Cogdell, Shahidi 和 Tsai 开发）。他们构造了两个表示 $\pi_1, \pi_2$ 的部分 Bessel 函数之差 $B_i(g, f_1) - B_i(g, f_2)$。通过假设伽马因子的相等性（条件 $C(m)$），他们通过归纳法证明该差值在特定的 Bruhat 单元上消失。
  • 他们使用了关于参数 $m$ 和 $n$ 的双重归纳。
  • 他们利用 Bessel 模型的唯一性，将积分的消失与部分 Bessel 函数之差的消失联系起来。
  • 对于 $l$ 为偶数（$l=2r$）且 $m=n=r$ 的情况，他们引入了酉群的局部伽马因子（如 [BAS09] 和 [Mor25] 中定义）来处理边界情况。

主要贡献与结果

1. 新的一族积分： 本文构造了一族积分 $I_j$，它们推广了 JPSS 积分。这些积分表示两个 Rankin-Selberg $L$-函数的乘积。
2. 无分歧计算： 作者利用 hive 模型处理 Schur 多项式和 Littlewood-Richardson 系数的组合学，提供了这些积分的详细无分歧计算。这推广了以往关于 $GL_l \times GL_m$ 和酉群的无分歧计算。
3. 局部伽马因子： 他们定义了局部伽马因子 $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$，并证明其为标准 JPSS 伽马因子的乘积（在平移和扭转意义下）。
4. Jacquet 本地逆猜想的新证明： 本文的主要应用是为 $GL_l(F)$（其中 $F$ 是非阿基米德局部域，特征 $\neq 2$）的 Jacquet 本地逆猜想提供了一个新的证明。
   • 证明表明，如果对于所有 $0 \le m, n \le [l/2]$ 的 $\tau_1, \tau_2$，都有 $\Gamma(s, \pi_1 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0) = \Gamma(s, \pi_2 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0)$，则 $\pi_1 \cong \pi_2$。
   • 作者指出，该条件等价于涉及单次扭转 $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ 的标准条件，其中 $1 \le m \le [l/2]$。
5. 技术区别： 与之前的证明（例如 [Cha19] 仅在开 Bruhat 单元上使用部分 Bessel 函数，或 [JL18] 依赖于 Kirillov 模型）相比，本证明：
   • 证明了部分 Bessel 函数在所有 Bruhat 单元上均相等，这使得该方法适用于有限域（其拓扑是离散的）。
   • 将 $GL_l$ 视为经典群进行处理，避免了对 Kirillov 模型存在的依赖。
   • 提供了一个更强的结果（定理 5.1），该结果刻画了由扭转至 $GL_m$（对于任何 $m \le [l/2]$）的伽马因子所确定的表示。

意义与主张
作者声称，他们构造的新型积分家族为解决局部逆问题提供了全新的视角。尽管该猜想已知成立，但这种新证明：

• 统一了方法： 它将 $L$-函数的乘积直接与逆问题联系起来，表明“乘积”结构对于全局应用可能更加稳健。
• 潜在的全局逆问题： 作者明确指出，他们期望这些积分在攻击全局逆猜想（猜想 1.3）方面发挥作用，该猜想寻求减少确定一个全局自守表示所需的扭转次数。其伽马因子的性质 (1.1) 提供了一系列新的等式，可以作为现有 JPSS 积分在全局环境下的补充。
• 普适性： 该方法足够稳健，可以覆盖有限域，并且独立于 Kirillov 模型，这使其有可能被推广到其他经典群以及有限域上的例外群（如对 $G_2$ 及经典群相关工作的引用所暗示的那样）。

文章最后指出，目前的构造目前仅限于 $m+n < l$ 的情况，将其推广到 $m+n \ge l$ 是未来的研究课题。