Product of Rankin-Selberg convolutions and a new proof of Jacquet's local converse conjecture

Resumen Técnico: Producto de Convoluciones de Rankin-Selberg y una Nueva Demostración de la Conjetura de la Conversa Local de Jacquet

Planteamiento del Problema
El artículo aborda dos problemas interconectados en la teoría de las representaciones automórficas y las funciones $L$ para grupos lineales generales sobre cuerpos globales y locales.

1. Generalización de Integrales: Los autores buscan construir una familia de integrales de tipo Rankin-Selberg que representen el producto de dos funciones $L$ de Rankin-Selberg, específicamente $L(s_1, \pi \times \tau_1)L(s_2, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)$, donde $\pi$ es una representación automórfica cuspidal de $GL_l$ y $\tau_1, \tau_2$ son representaciones cuspidales de $GL_m$ y $GL_n$ respectivamente, bajo la restricción $m+n < l$. Cuando $n=0$, estas deben reducirse a las integrales clásicas de Jacquet–Piatetski-Shapiro–Shalika (JPSS).
2. Conjetura de la Conversa Local de Jacquet: El artículo tiene como objetivo proporcionar una nueva demostración de la conjetura de la conversa local de Jacquet. Esta conjetura postula que para dos representaciones genéricas irreducibles $\pi_1, \pi_2$ de $GL_l(F)$ (donde $F$ es un cuerpo local no arquimediano) con el mismo carácter central, si sus factores gamma retorcidos $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ coinciden para todas las representaciones genéricas irreducibles $\tau$ de $GL_m(F)$ con $1 \le m \le [l/2]$, entonces $\pi_1 \cong \pi_2$. Aunque esto fue probado previamente por Chai (2019) y Jacquet–Lapid (2018), los autores pretenden probarlo utilizando su nueva familia de integrales recién construida, ofreciendo potencialmente un marco aplicable a problemas de conversa global.

Metodología
Los autores emplean una combinación de construcciones de integrales globales, análisis de integrales zeta locales y la teoría de funciones de Bessel parciales.

• Construcción Global: Definen una integral global $I_j(\phi, f_s)$ que involucra una forma de cúspide $\phi \in \pi$ en $GL_l(\mathbb{A})$ y una serie de Eisenstein $E(h, f_s)$ en $GL_{m+n}(\mathbb{A})$. La integral se toma sobre $GL_{m+n}(F) \backslash GL_{m+n}(\mathbb{A})$ e involucra un coeficiente de Fourier específico de $\phi$ a lo largo de un subgrupo $Y_j \subset GL_l$. La incrustación $\iota_j: GL_{m+n} \to GL_l$ es cuidadosamente elegida para facilitar el proceso de despliegue (unfolding).
• Despliegue y Producto de Euler: Utilizando la expansión de Fourier de las formas de cúspide (generalizando el trabajo de Piatetski-Shapiro y Shalika), despliegan la integral global para obtener un producto de Euler. Esto implica computar integrales zeta locales $\Psi(W_v, \xi_{f_s, v}; j)$ que representan el producto de los factores $L$ locales.
• Teoría Local: En el entorno local, definen integrales zeta locales y establecen la existencia de un factor gamma local $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$ mediante una ecuación funcional que involucra un operador de entrelazamiento. Computan el caso no ramificado explícitamente utilizando el modelo de colmena (hive model) para los coeficientes de Littlewood-Richardson (desarrollado por Knutson y Tao) para mostrar que la integral local es igual al cociente de los factores $L$:
  $$\Psi(W^0, \xi^0; j) = \frac{L(s_1 + \frac{k-j}{2}, \pi \times \tau_1)L(s_2 - \frac{k-j}{2}, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)}{L(s_1+s_2, \tau_1 \times \tilde{\tau}_2)}$$
  donde $k = l - m - n - 1 - j$.
• Demostración del Teorema de la Conversa: Para probar el teorema de la conversa local, los autores utilizan funciones de Bessel parciales (desarrolladas por Cogdell, Shahidi y Tsai) asociadas con vectores de Howe. Construyen una diferencia de funciones de Bessel parciales $B_i(g, f_1) - B_i(g, f_2)$ para dos representaciones $\pi_1, \pi_2$. Al asumir la igualdad de los factores gamma (la condición $C(m)$), muestran inductivamente que esta diferencia se anula en celdas de Bruhat específicas.
  • Utilizan una doble inducción sobre los parámetros $m$ y $n$.
  • Aprovechan la unicidad de los modelos de Bessel para relacionar la anulación de las integrales con la anulación de la diferencia de las funciones de Bessel parciales.
  • Para el caso donde $l$ es par ($l=2r$) y $m=n=r$, incorporan los factores gamma locales para grupos unitarios (como se definen en [BAS09] y [Mor25]) para manejar el caso límite.

Contribuciones Clave y Resultados

1. Nueva Familia de Integrales: El artículo construye una familia de integrales $I_j$ que generalizan las integrales JPSS. Estas integrales representan el producto de dos funciones $L$ de Rankin-Selberg.
2. Cálculo No Ramificado: Los autores proporcionan un cálculo no ramificado detallado de estas integrales, utilizando el modelo de colmena para manejar la combinatoria de los polinomios de Schur y los coeficientes de Littlewood-Richardson, lo cual generaliza cálculos no ramificados previos para $GL_l \times GL_m$ y grupos unitarios.
3. Factores Gamma Locales: Definen factores gamma locales $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$ y prueban que son productos de factores gamma JPSS estándar (salvo desplazamientos y giros/twists).
4. Nueva Demostración de la Conjetura de la Conversa Local de Jacquet: La aplicación principal es una nueva demostración de la conjetura de la conversa local de Jacquet para $GL_l(F)$ (donde $F$ es un cuerpo local no arquimediano de característica $\neq 2$).
   • La demostración establece que si $\Gamma(s, \pi_1 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0) = \Gamma(s, \pi_2 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0)$ para todos los $\tau_1, \tau_2$ con $0 \le m, n \le [l/2]$, entonces $\pi_1 \cong \pi_2$.
   • Los autores señalan que esta condición es equivalente a la condición estándar que involucra giros simples $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ para $1 \le m \le [l/2]$.
5. Distinciones Técnicas: A diferencia de demostraciones previas (por ejemplo, [Cha19] que utilizó funciones de Bessel parciales solo en la celda de Bruhat abierta, o [JL18] que dependió de modelos de Kirillov), esta demostración:
   • Prueba la igualdad de las funciones de Bessel parciales en todas las celdas de Bruhat, lo que la hace aplicable a cuerpos finitos (donde la topología es discreta).
   • Trata a $GL_l$ como un grupo clásico, evitando la dependencia de la existencia de modelos de Kirillov.
   • Proporciona un resultado más fuerte (Teorema 5.1) que caracteriza las representaciones determinadas por factores gamma retorcidos hasta $GL_m$ para cualquier $m \le [l/2]$.

Significancia y Reivindicaciones
Los autores afirman que la nueva familia de integrales construida ofrece una perspectiva fresca sobre el problema de la conversa local. Aunque la conjetura ya era conocida como verdadera, esta nueva demostración:

• Unifica Enfoques: Conecta el producto de las funciones $L$ directamente con el problema de la conversa, sugiriendo que la estructura de "producto" podría ser más robusta para aplicaciones globales.
• Potencial para la Conversa Global: Los autores declaran explícitamente que esperan que estas integrales sean útiles para atacar la conjetura de la conversa global (Conjetura 1.3), la cual busca reducir el número de giros requeridos para determinar una representación automórfica global. La propiedad (1.1) de sus factores gamma proporciona una nueva familia de igualdades que podría complementar las integrales JPSS existentes en entornos globales.
• Generalidad: El método es lo suficientemente robusto como para cubrir cuerpos finitos y es independiente de los modelos de Kirillov, lo que potencialmente lo hace adaptable a otros grupos clásicos y grupos excepcionales (como se sugiere en las referencias al trabajo sobre $G_2$ y grupos clásicos sobre cuerpos finitos).

El artículo concluye señalando que la construcción está actualmente limitada al caso $m+n < l$, y que la generalización a $m+n \ge l$ es un tema para trabajos futuros.