Product of Rankin-Selberg convolutions and a new proof of Jacquet's local converse conjecture

Resumo Técnico: Produto de Convoluções de Rankin-Selberg e uma Nova Prova da Conjectura de Conversão Local de Jacquet

Enunciado do Problema
O artigo aborda dois problemas interconectados na teoria das representações automórficas e funções $L$ para grupos lineares gerais sobre corpos globais e locais.

1. Generalização de Integrais: Os autores buscam construir uma família de integrais do tipo Rankin-Selberg que representem o produto de duas funções $L$ de Rankin-Selberg, especificamente $L(s_1, \pi \times \tau_1)L(s_2, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)$, onde $\pi$ é uma representação automórfica cúspica de $GL_l$ e $\tau_1, \tau_2$ são representações cúspicas de $GL_m$ e $GL_n$ respectivamente, sob a restrição $m+n < l$. Quando $n=0$, estas devem reduzir-se aos integrais clássicos de Jacquet–Piatetski-Shapiro–Shalika (JPSS).
2. Conjectura de Conversão Local de Jacquet: O artigo visa fornecer uma nova prova da conjectura de conversão local de Jacquet. Esta conjectura postula que para duas representações genéricas irredutíveis $\pi_1, \pi_2$ de $GL_l(F)$ (onde $F$ é um corpo local não arquimediano) com o mesmo caractere central, se seus fatores gama torcidos $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ coincidem para todas as representações genéricas irredutíveis $\tau$ de $GL_m(F)$ com $1 \le m \le [l/2]$, então $\pi_1 \cong \pi_2$. Embora previamente provada por Chai (2019) e Jacquet–Lapid (2018), os autores visam prová-la utilizando sua recém-construída família de integrais, oferecendo potencialmente um arcabouço aplicável a problemas de conversão global.

Metodologia
Os autores empregam uma combinação de construções integrais globais, análise de integrais zeta locais e a teoria de funções Bessel parciais.

*Construção Global: Eles definem um integral global $I_j(\phi, f_s)$ envolvendo uma forma cúspica $\phi \in \pi$ em $GL_l(\mathbb{A})$ e uma série de Eisenstein $E(h, f_s)$ em $GL_{m+n}(\mathbb{A})$. O integral é tomado sobre $GL_{m+n}(F) \backslash GL_{m+n}(\mathbb{A})$ e envolve um coeficiente de Fourier específico de $\phi$ ao longo de um subgrupo $Y_j \subset GL_l$. A imersão $\iota_j: GL_{m+n} \to GL_l$ é cuidadosamente escolhida para facilitar o processo de desenrolamento (unfolding).
*Desenrolamento e Produto de Euler: Utilizando a expansão de Fourier de formas cúspicas (generalizando o trabalho de Piatetski-Shapiro e Shalika), eles desenrolam o integral global para obter um produto de Euler. Isso envolve o cálculo de integrais zeta locais $\Psi(W_v, \xi_{f_s, v}; j)$ que representam o produto de fatores $L$ locais.
*Teoria Local: No cenário local, eles definem integrais zeta locais e estabelecem a existência de um fator gama local $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$ via uma equação funcional envolvendo um operador de interligação (intertwining operator). Eles calculam o caso não ramificado explicitamente usando o modelo de colmeia (hive model) para coeficientes de Littlewood-Richardson (desenvolvido por Knutson e Tao) para mostrar que o integral local é igual à razão de fatores $L$:
$$\Psi(W^0, \xi^0; j) = \frac{L(s_1 + \frac{k-j}{2}, \pi \times \tau_1)L(s_2 - \frac{k-j}{2}, \tilde{\pi} \times \tilde{\tau}_2)}{L(s_1+s_2, \tau_1 \times \tilde{\tau}_2)}$$
onde $k = l - m - n - 1 - j$.
*Prova do Teorema de Conversão: Para provar o teorema de conversão local, os autores utilizam funções Bessel parciais (desenvolvidas por Cogdell, Shahidi e Tsai) associadas a vetores de Howe. Eles constroem uma diferença de funções Bessel parciais $B_i(g, f_1) - B_i(g, f_2)$ para duas representações $\pi_1, \pi_2$. Ao assumir a igualdade dos fatores gama (a condição $C(m)$), eles mostram indutivamente que essa diferença desaparece em células de Bruhat específicas.
* Eles utilizam uma dupla indução sobre os parâmetros $m$ e $n$.
* Eles aproveitam a unicidade dos modelos de Bessel para relacionar o desaparecimento dos integrais ao desaparecimento da diferença das funções Bessel parciais.
* Para o caso onde $l$ é par ($l=2r$) e $m=n=r$, eles incorporam os fatores gama locais para grupos unitários (conforme definido em [BAS09] e [Mor25]) para lidar com o caso de fronteira.

Principais Contribuições e Resultados

1. Nova Família de Integrais: O artigo constrói uma família de integrais $I_j$ que generalizam os integrais JPSS. Estes integrais representam o produto de duas funções $L$ de Rankin-Selberg.
2. Cálculo Não Ramificado: Os autores fornecem um cálculo não ramificado detalhado destes integrais, utilizando o modelo de colmeia para lidar com a combinatória de polinômios de Schur e coeficientes de Littlewood-Richardson, o que generaliza cálculos não ramificados anteriores para $GL_l \times GL_m$ e grupos unitários.
3. Fatores Gama Locais: Eles definem fatores gama locais $\Gamma(s, \pi \times (\tau_1, \tau_2), \psi; j)$ e provam que são produtos de fatores gama JPSS padrão (com desvios e torções).
4. Nova Prova da Conjectura de Conversão Local de Jacquet: A principal aplicação é uma nova prova da conjectura de conversão local de Jacquet para $GL_l(F)$ (onde $F$ é um corpo local não arquimediano de característica $\neq 2$).
   • A prova estabelece que, se $\Gamma(s, \pi_1 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0) = \Gamma(s, \pi_2 \times (\tau_1, \tau_2), \psi; 0)$ para todos $\tau_1, \tau_2$ com $0 \le m, n \le [l/2]$, então $\pi_1 \cong \pi_2$.
   • Os autores observam que esta condição é equivalente à condição padrão envolvendo torções únicas $\gamma(s, \pi \times \tau, \psi)$ para $1 \le m \le [l/2]$.
5. Distinções Técnicas: Diferente de provas anteriores (por exemplo, [Cha19] que utilizou funções Bessel parciais apenas na célula de Bruhat aberta, ou [JL18] que dependeu de modelos de Kirillov), esta prova:
   • Prova a igualdade das funções Bessel parciais em todas as células de Bruhat, tornando-a aplicável a corpos finitos (onde a topologia é discreta).
   • Trata $GL_l$ como um grupo clássico, evitando a dependência da existência de modelos de Kirillov.
   • Fornece um resultado mais forte (Teorema 5.1) que caracteriza representações determinadas por fatores gama torcidos até $GL_m$ para qualquer $m \le [l/2]$.

Significância e Alegações
Os autores alegam que a nova família de integrais construída oferece uma nova perspectiva sobre o problema de conversão local. Embora a conjectura já fosse conhecida como verdadeira, esta nova prova:

• Unifica Abordagens: Ela conecta o produto de funções $L diretamente ao problema de conversão, sugerindo que a estrutura de "produto" pode ser mais robusta para aplicações globais.
• Potencial para Conversão Global: Os autores afirmam explicitamente que esperam que estes integrais sejam úteis para atacar a conjectura de conversão global (Conjectura 1.3), que busca reduzir o número de torções necessárias para determinar uma representação automórfica global. A propriedade (1.1) de seus fatores gama fornece uma nova família de igualdades que poderia complementar os integrais JPSS existentes em contextos globais.
• Generalidade: O método é robusto o suficiente para cobrir corpos finitos e é independente de modelos de Kirillov, o que potencialmente o torna adaptável a outros grupos clássicos e grupos excepcionais (como sugerido por referências ao trabalho sobre $G_2$ e grupos clássicos sobre corpos finitos).

O artigo conclui observando que a construção é atualmente limitada ao caso $m+n < l$, e a generalização para $m+n \ge l$ é um tema para trabalhos futuros.