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Local minima in quantum systems

本文表明，尽管在量子系统中寻找局部能量极小值对于经典计算机而言在计算上是困难的，但通过使用热梯度下降算法，量子计算机可以高效地解决这一问题，从而建立了一个量子计算即使在处理比寻找基态更简单的任务时也能超越经典计算的情景。

原作者： Chi-Fang Chen, Hsin-Yuan Huang, John Preskill, Leo Zhou

发布于 2026-08-31

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原作者： Chi-Fang Chen, Hsin-Yuan Huang, John Preskill, Leo Zhou

原始论文采用 CC BY 4.0 许可（http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/）。 ✨ 这是对下方论文的AI生成解释。它不是由作者撰写或认可的。如需技术准确性，请参阅原始论文。阅读完整免责声明

在物理世界中，自然界是一个不懈的优化者。当一个热物体冷却时，它会寻求能量最低的状态，物理学家称之为基态。这一过程是物质如何形成、化学反应如何发生以及宇宙如何趋于稳定的基础。几十年来，科学家一直试图利用计算机来预测由许多相互作用粒子（如新材料中的电子或蛋白质中的原子）组成的复杂系统的这些最低能量状态。然而，寻找这些系统的绝对最低点是极其困难的。这是一个如此困难的问题，以至于即使是目前我们使用的最强大的经典计算机，在面对许多有趣的案例时也难以解决。此外，理论工作表明，寻找基态是 QMA-hard 的，这意味着在某些情况下，即使对于量子计算机来说也是难以处理的。

这种困难源于可能存在的能量状态景观往往充满了陷阱。想象一下，一位登山者想要到达最深的谷底。如果地形崎岖不平，登山者可能会困在一个看起来像是底部但实际上比真正的谷底要高的浅洼地中。在物理学中，这些浅洼地被称为局部极小值。当自然界冷却一个系统时，它往往会陷入这些局部极小值，而不是找到真正的基态。这就是为什么某些材料（如某些磁性玻璃）即使在冷却很长时间后，也永远无法达到其理论上的最低能量。相反，它们会稳定在一个虽然稳定但并非最优的状态。

来自加州理工学院、谷歌量子人工智能（Google Quantum AI）和麻省理工学院的一个研究小组，现在调查了这种陷入局部极小值的现象。他们提出了一个具体的问题：如果自然界并不总是能找到完美的基态，那么计算机能否找到一个局部极小值？如果是这样，这项任务对于经典计算机还是量子计算机来说更容易？他们的研究揭示了量子优化故事中一个令人惊讶的转折。他们发现，虽然在一种规则下寻找局部极小值对于经典计算机来说是平凡的，但在实际支配自然冷却过程的规则下，这项任务对量子计算机来说很容易，而对经典计算机来说却很难。

要理解他们的发现，首先必须区分两种扰动或推动系统的方式。研究人员考虑的第一种类型涉及使用被称为局部幺正扰动的可逆数学操作来改变系统。在这种情况下，能量景观充满了大量的局部极小值。事实上，系统的几乎任何随机状态都是一个局部极小值。因为有很多这样的极小值，经典计算机可以轻松找到一个；这就像是走进一片广阔而平坦的平原，每一步都是一个局部极小值。这个问题非常简单，以至于它基本上是平凡的，但这并不能反映自然界的真实运作方式，因为自然通过与热浴（heat bath）的不可逆相互作用来冷却系统，而不是通过可逆的数学技巧。

研究人员随后转向了第二种类型的扰动，它模拟了真实的物理冷却过程。他们模拟了一个与热浴（一个特定温度的热库）相互作用的系统。在这种现实的设定下，系统是不可逆演化的，会将能量释放到环境中。在这里，景观发生了剧烈的变化。研究人员证明，对于量子计算机来说，在这些热力学条件下寻找局部极小值是高效的。他们开发了一种名为“量子热梯度下降”的方法，这种方法模仿了冷却过程。通过沿着能量下降最陡峭的方向前进，量子计算机可以可靠地在合理的时间内找到一个局部极小值，无论起始位置在哪里。

然而，最重要的发现在于经典计算机的难度。研究人员构建了一类特定的二维量子系统，其基态编码了一个复杂的量子计算结果。他们证明，对于这些特定的系统，不存在“坏的”局部极小值。每一个局部极小值实际上都是全局极小值，即基态。这创造了一个平滑的、碗状的能量景观，唯一的停留点就是最底部。由于寻找这些系统的基态已知是量子计算机容易而经典计算机困难的任务（假设量子计算比经典计算更强大），研究人员得出结论：在这些热力学条件下寻找局部极小值对经典计算机来说也是困难的。如果经典计算机能高效地在此处找到一个局部极小值，那就意味着经典计算机可以模拟任何量子计算，而大多数专家认为这种可能性是不存在的。

这项工作确立了经典机器与量子机器能力之间的明确界限。它表明，虽然经典计算机可以在人工的、可逆的情景下轻松找到局部极小值，但当面对统治现实世界的不可逆热力学过程时，它们会撞上障碍。相比之下，量子计算机可以高效地在这些热力学景观中导航。该研究表明，局部极小值问题为量子优势提供了一条新的途径。与其试图解决为每个系统寻找绝对基态这一极其困难的问题，不如专注于寻找自然界实际产生的稳定低能态。这提供了一个具有物理相关性的问题，其中量子机器可以超越经典机器，从而帮助科学家理解那些迄今为止仍难以捉摸的材料和化学系统的行为。

研究人员还探讨了为什么有些系统会陷入次优状态，而有些系统则不会。他们分析了一个简单的磁性链，并发现如果没有外部磁场，系统会被许多带有畴壁（domain walls）的配置所困，这些配置充当了次优的局部极小值。然而，当施加强外部磁场时，这些陷阱就会消失，系统会平滑地流向其真正的基态。这镜像了他们研究的复杂系统的行为：能量景观的形状决定了系统是能找到其最低能量状态，还是会停滞不前。他们的发现表明，许多感兴趣的物理系统可能拥有“良好的”能量景观，没有次优陷阱，这使得它们成为模仿自然冷却过程的量子优化算法的理想候选对象。

最终，这篇论文重新定义了量子优化的挑战。它不再关注寻找完美基态这一抽象目标，而是转向寻找自然界所沉淀下来的稳定状态这一现实问题。通过证明这项任务在标准复杂度假设下是经典困难但量子容易的，研究人员确定了一个量子计算机可以展示其优越性的具体问题。这不仅仅是一个理论上的奇趣；它指向了一个未来，即量子机器可以通过遵循宇宙自诞生以来所使用的相同冷却原则，来解决目前在物理学和化学领域中难以处理的问题。

技术摘要：量子系统中的局部极小值

问题陈述
寻找量子多体系统的基态（全局最小值）是物理学和化学中的一个核心问题，对于局部哈密顿量而言，这是一个已知的 QMA-hard 问题。因此，基态并不总是能被经典或量子计算机高效地找到，且自然的冷却过程往往无法达到基态，而是陷入局部极小值。本研究调查了在两种不同的扰动定义下，寻找量子系统局部极小值的计算复杂度：一种是局部幺正扰动，另一种是热扰动。核心问题在于，寻找局部极小值对于经典计算机和量子计算机是否是计算可行的，以及扰动的定义如何影响能量景观。

方法论与定义
作者将量子系统中的局部极小值定义为：在受到微小扰动时，哈密顿量 $H$ 的期望值不会降低的状态。他们分析了两种特定类型的扰动：

局部幺正扰动（Local Unitary Perturbations）： 建模为由少量体厄米算符生成的短时幺正演化（类似于变分量子本征求解器中的步骤）。切空间由这些幺正方向定义。
热扰动（Thermal Perturbations）： 建模为耦合到低温热浴的系统的不可逆演化。这由涉及热林德布拉德算符（Lindbladians） $\mathcal{L}_{\beta, \tau, H}^a$ 的主方程描述，该算符取决于系统哈密顿量 $H$ 、逆温度 $\beta$ 和特征时间尺度 $\tau$ 。至关重要的一点是，这些扰动是不可逆的（ $\alpha_a \geq 0$ ），反映了热力学冷却过程。

寻找 $\epsilon$ -近似局部极小值的复杂度被定义为：对于任何此类局部极小值，输出其局部可观测量的期望值的任务。

主要贡献与结果

1. 局部幺正扰动下的局部极小值（经典易解）
作者证明，在局部幺正扰动下寻找局部极小值在经典上是平凡的。

能量景观： 他们证明，对于任何局部哈密顿量，在局部幺正扰动下的能量景观包含一个“贫瘠高原”（barren plateau）。一个随机的 $n$ -比特纯态以高概率是一个近似局部极小值。
复杂度： 由于此类局部极小值的数量是双指数级的，且它们的局部性质在指数级接近最大混合态，因此经典算法可以高效地输出局部可观测量的期望值（例如，通过简单地输出该可观测量的迹除以 $2^n$ ）。这使得该问题在经典上是容易的，尽管寻找基态本身非常困难。

2. 热扰动下的局部极小值（量子易解，针对特定族在经典上困难）
与此形成鲜明对比，作者确立了在热扰动下寻找局部极小值是一个对于量子计算机容易、但对于经典计算机困难（假设 $\text{BPP} \neq \text{BQP}$ ）的问题，特别是针对一类特定的哈密顿量。

量子算法（热梯度下降）： 作者提出了一种“量子热梯度下降”算法。该算法模仿自然界的冷却过程，在能量梯度为负的方向上迭代应用热林德布拉德演化。他们证明，对于任何局部哈密顿量，该算法都能在多项式时间 $poly(n, 1/\epsilon, \beta, \tau)$ 内收敛到 $\epsilon$ -近似局部极小值。该算法依赖于对热林德布拉德的高效模拟，以及利用块编码（block-encoding）和量子奇异值变换（QSVT）技术来估计能量梯度。
通过 BQP-hard 哈密顿量的经典困难性证明： 为了证明经典上的困难性，作者构造了一类基于改进型 Kitaev 电路-哈密顿构造的几何局部 2D 哈密顿量 ( $H_C$ )。在这些哈密顿量中，基态编码了任意量子电路 $C$ 的输出。
- 无次优极小值： 最具技术意义的结果是，作者证明了对于这类特定的 2D 哈密顿量，在低温热扰动下，所有近似局部极小值都是近似全局最小值（基态）。其能量景观呈现出一种“良好的碗状结构”，其中量子梯度下降可以高效地找到基态。
- 归约： 由于这些特定哈密顿量的基态求解等价于模拟量子电路（BQP-hard），而寻找局部极小值对于这类特定哈密顿量等价于寻找基态，因此寻找局部极小值对于此类哈密顿量而言是量子计算通用的。因此，在假设经典计算机无法高效模拟量子电路（ $\text{BPP} \neq \text{BQP}$ ）的前提下，在热扰动下寻找局部极小值在经典上是困难的。作者指出，对于一般的局部哈密顿量（例如 QMA-hard 问题），能量景观可能包含次优的局部极小值，算法可能无法高效达到基态。

意义与主张
本文声称识别了一个问题——即在特定哈密顿量族下寻找热扰动下的局部极小值——该问题提供了一个“量子可行的替代方案”来解决一般的基态问题。虽然一般的基态问题被认为对于经典和量子计算机都是困难的（QMA-hard），但热扰动下的局部极小值问题是：

量子易解： 可以通过所提出的量子算法高效解决，该算法模拟了自然冷却过程，适用于任何局部哈密顿量。
经典困难： 被证明对于一类 BQP-hard 哈密顿量是量子计算通用的（其中所有局部极小值均为全局最小值），这意味着（在标准复杂度假设下）不存在高效的经典算法可以处理这些实例。

作者强调，这一结果的动机源于物理现实：自然界中的系统在热浴中经常会找到局部极小值。这项工作表明，某些具有物理相关性的哈密顿量（特别是编码量子计算的哈密顿量）的能量景观可能缺乏次优的局部极小值，从而允许量子热梯度下降高效地找到基态。这提供了一条实现超多项式量子优势的物理驱动路径，该路径不同于依赖于绝热路径或特定试探态的算法。

论文最后指出，虽然其证明适用于特定的 BQP-hard 哈密顿量族，但所开发的技术（如负梯度条件和能量梯度的扰动分析）可能有助于表征物理学和化学中具有类似有利能量景观的更广泛类别的哈密顿量。

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