Local minima in quantum systems

भौतिक दुनिया में, प्रकृति एक निरंतर अनुकूलक (optimizer) है। जब कोई गर्म वस्तु ठंडी होती है, तो वह निम्नतम ऊर्जा अवस्था की तलाश करती है, जिसे भौतिक विज्ञानी 'ग्राउंड स्टेट' कहते हैं। यह प्रक्रिया मौलिक है कि कैसे सामग्रियां बनती हैं, रासायनिक प्रतिक्रियाएं कैसे होती हैं, और ब्रह्मांड स्थिरता की ओर कैसे अग्रसर होता है। दशकों से, वैज्ञानिक जटिल प्रणालियों के लिए इन निम्नतम-ऊर्जा अवस्थाओं की भविष्यवाणी करने के लिए कंप्यूटरों का उपयोग करने का प्रयास कर रहे हैं, जैसे कि एक नए पदार्थ में इलेक्ट्रॉन या एक प्रोटीन में परमाणु। हालांकि, इन प्रणालियों में पूर्ण निम्नतम बिंदु को खोजना अत्यंत कठिन है। यह एक ऐसी समस्या है जो इतनी कठिन है कि आज के सबसे शक्तिशाली क्लासिकल कंप्यूटर भी कई दिलचस्प मामलों के लिए इसे हल करने में संघर्ष करते हैं। इसके अलावा, सैद्धांतिक कार्य सुझाव देते हैं कि ग्राउंड स्टेट्स खोजना QMA-हार्ड है, जिसका अर्थ है कि कुछ उदाहरणों में यह क्वांटम कंप्यूटरों के लिए भी अगम्य होने की उम्मीद है।

यह कठिनाई इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि संभावित ऊर्जा अवस्थाओं का परिदृश्य अक्सर बाधाओं (traps) से भरा होता है। कल्पना कीजिए कि एक पर्वतीय श्रृंखला है जहाँ एक हाइकर सबसे गहरी घाटी तक पहुँचना चाहता है। यदि भूभाग ऊबड़-खाबड़ है, तो हाइकर एक छोटे, उथले गड्ढे में फंस सकता है जो दूर से देखने पर तल जैसा दिखता है लेकिन वास्तव में वास्तविक घाटी के फर्श से बहुत ऊपर है। भौतिकी में, इन उथले गड्ढों को 'लोकल मिनिमा' (local minima) कहा जाता है। जब प्रकृति किसी प्रणाली को ठंडा करती है, तो वह अक्सर वास्तविक ग्राउंड स्टेट खोजने के बजाय इन लोकल मिनिमा में फंस जाती है। यही कारण है कि कुछ सामग्रियां, जैसे कि कुछ विशिष्ट चुंबकीय कांच (magnetic glasses), लंबे समय तक ठंडा होने के बाद भी अपने सैद्धांतिक निम्नतम स्तर तक नहीं पहुँच पाती हैं। इसके बजाय, वे एक ऐसी अवस्था में स्थिर हो जाती हैं जो स्थिर तो है लेकिन सर्वोत्तम नहीं है।

कैलिफोर्निया इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी, गूगल क्वांटम एआई और मैसाचुसेट्स इंस्टीट्यूट ऑफ टेक्नोलॉजी के शोधकर्ताओं की एक टीम ने अब इस घटना की जांच की है कि कैसे स्थानीय न्यूनतम (local minima) में फंस जाते हैं। उन्होंने एक विशिष्ट प्रश्न पूछा: यदि प्रकृति हमेशा पूर्ण ग्राउंड स्टेट नहीं खोज सकती, तो क्या एक कंप्यूटर एक लोकल मिनिमम खोज सकता है? और यदि ऐसा है, तो क्या यह कार्य एक क्लासिकल कंप्यूटर के लिए आसान है या एक क्वांटम के लिए? उनका कार्य क्वांटम अनुकूलन (quantum optimization) की कहानी में एक आश्चर्यजनक मोड़ प्रकट करता है। उन्होंने पाया कि जबकि नियमों के एक सेट के तहत एक लोकल मिनिमम खोजना क्लासिकल कंप्यूटर के लिए सरल है, यह उन नियमों के तहत एक ऐसा कार्य बन जाता है जो वास्तव में प्रकृति को ठंडा करने के तरीके को नियंत्रित करते हैं, एक क्वांटम कंप्यूटर के लिए आसान है लेकिन क्लासिकल के लिए कठिन है।

उनकी खोज को समझने के लिए, पहले दो तरीकों के बीच अंतर करना आवश्यक है जिनसे एक प्रणाली को विचलित या प्रभावित किया जा सकता है। शोधकर्ताओं ने पहले प्रकार पर विचार किया, जिसमें 'लोकल यूनिटरी परटर्बेशन' (local unitary perturbations) के रूप में ज्ञात प्रतिवर्ती (reversible), गणितीय संचालन का उपयोग करके एक प्रणाली को बदलना शामिल है। इस परिदृश्य में, ऊर्जा परिदृश्य अत्यधिक संख्या में लोकल मिनिमा से भरा होता है। वास्तव में, प्रणाली की लगभग कोई भी यादृच्छिक (random) अवस्था एक लोकल मिनिमम होती है। क्योंकि ये इतने अधिक हैं, एक क्लासिकल कंप्यूटर आसानी से एक को खोज सकता है; यह एक विशाल, समतल मैदान में चलने जैसा है जहाँ हर कदम एक लोकल मिनिमम है। समस्या इतनी आसान है कि यह अनिवार्य रूप से सरल (trivial) है, लेकिन यह प्रतिबिंबित नहीं करती है कि प्रकृति वास्तव में कैसे काम करती है, क्योंकि प्रकृति प्रणालियों को एक हीट बाथ के साथ अपरिवर्तनीय (irreversible) अंतःक्रियाओं के माध्यम से ठंडा करती है, न कि प्रतिवर्ती गणितीय युक्तियों के माध्यम से।

शोधकर्ताओं ने दूसरे प्रकार के परटर्बेशन की ओर रुख किया, जो वास्तविक भौतिक शीतलन प्रक्रिया की नकल करता है। उन्होंने एक थर्मल बाथ (thermal bath) के साथ परस्पर क्रिया करने वाली प्रणाली का मॉडल तैयार किया, जो एक विशिष्ट तापमान पर ऊष्मा का भंडार है। इस यथार्थवादी सेटिंग में, प्रणाली अपरिवर्तनीय रूप से विकसित होती है, जिससे पर्यावरण को ऊर्जा का नुकसान होता है। यहाँ, परिदृश्य नाटकीय रूप से बदल जाता है। शोधकर्ताओं ने सिद्ध किया कि एक क्वांटम कंप्यूटर के लिए, इन थर्मल स्थितियों के तहत एक लोकल मिनिमम खोजना कुशल है। उन्होंने 'क्वांटम थर्मल ग्रेडिएंट डिसेंट' (quantum thermal descent) नामक एक विधि विकसित की, जो शीतलन प्रक्रिया की नकल करती है। उस दिशा का अनुसरण करके जहाँ ऊर्जा सबसे तेजी से गिरती है, एक क्वांटम कंप्यूटर विश्वसनीय रूप से एक उचित समय में एक लोकल मिनिमम खोज सकता है, चाहे वह कहीं से भी शुरू हुआ हो।

सबसे महत्वपूर्ण खोज, हालांकि, क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए कठिनाई के संबंध में है। शोधकर्ताओं ने दो-आयामी क्वांटम प्रणालियों का एक विशिष्ट परिवार बनाया जहाँ ग्राउंड स्टेट एक जटिल क्वांटम गणना के परिणाम को एनकोड करता है। उन्होंने सिद्ध किया कि इन विशिष्ट प्रणालियों के लिए, कोई "बुरे" लोकल मिनिमा नहीं हैं। प्रत्येक लोकल मिनिमम वास्तव में एक ग्लोबल मिनिमम है, जिसका अर्थ है ग्राउंड स्टेट। यह एक चिकना, कटोरे के आकार का ऊर्जा परिदृश्य बनाता है जहाँ फंसने का एकमात्र स्थान बिल्कुल नीचे का हिस्सा है। चूंकि इन प्रणालियों के लिए ग्राउंड स्टेट खोजना एक ऐसा कार्य है जो क्वांटम कंप्यूटरों के लिए आसान है लेकिन क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए कठिन है (यह मानते हुए कि क्वांटम गणना क्लासिकल से अधिक शक्तिशाली है), शोधकर्ताओं ने निष्कर्ष निकाला कि इस थर्मल सेटिंग में एक लोकल मिनिमम खोजना क्लासिकल कंप्यूटरों के लिए भी कठिन है। यदि एक क्लासिकल कंप्यूटर यहाँ कुशलतापूर्वक एक लोकल मिनिमम खोज सकता है, तो इसका तात्पर्य होगा कि क्लासिकल कंप्यूटर किसी भी क्वांटम गणना का अनुकरण (simulate) कर सकते हैं, एक संभावना जिसे अधिकांश विशेषज्ञ गलत मानते हैं।

यह कार्य क्लासिकल और क्वांटम मशीनों की क्षमताओं के बीच एक स्पष्ट अलगाव स्थापित करता है। यह दिखाता है कि जबकि क्लासिकल कंप्यूटर कृत्रिम, प्रतिवर्ती परिदृश्यों में आसानी से लोकल मिनिमा खोज सकते हैं, वे वास्तविक दुनिया द्वारा शासित अपरिवर्तनीय, थर्मल प्रक्रियाओं का सामना करने पर रुक जाते हैं। इसके विपरीत, क्वांटम कंप्यूटर इन थर्मल परिदृश्यों में कुशलतापूर्वक नेविगेट कर सकते हैं। अध्ययन सुझाव देता है कि 'लोकल मिनिमम' की समस्या क्वांटम लाभ (quantum advantage) के लिए एक नया मार्ग प्रदान करती है। पूर्ण ग्राउंड स्टेट खोजने के कठिन लक्ष्य को हल करने के बजाय, क्वांटम कंप्यूटर उन स्थिर, निम्न-ऊर्जा अवस्थाओं को कुशलतापूर्वक खोज सकते हैं जिन्हें प्रकृति वास्तव में उत्पन्न करती है। यह एक भौतिक रूप से प्रासंगिक समस्या प्रदान करता है जहाँ क्वांटम मशीनें क्लासिकल मशीनों से बेहतर प्रदर्शन कर सकती हैं, जो वैज्ञानिकों को उन सामग्रियों और रासायनिक प्रणालियों के व्यवहार को समझने में मदद कर सकती है जो अब तक पहुंच से बाहर रही हैं।

शोधकर्ताओं ने यह भी पता लगाया कि क्यों कुछ प्रणालियाँ उप-इष्टतम (suboptimal) अवस्थाओं में फंस जाती हैं जबकि अन्य नहीं। उन्होंने एक सरल चुंबकीय श्रृंखला का विश्लेषण किया और पाया कि बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के बिना, प्रणाली डोमेन वॉल (domain walls) के साथ कई अलग-अलग विन्यासों में फंस सकती है, जो उप-इष्टतम लोकल मिनिमा के रूप में कार्य करते हैं। हालाँकि, जब एक मजबूत बाहरी क्षेत्र लगाया जाता है, तो ये जाल गायब हो जाते हैं, और प्रणाली सुचारू रूप से अपने वास्तविक ग्राउंड स्टेट की ओर प्रवाहित होती है। यह उनके द्वारा अध्ययन की गई जटिल प्रणालियों के व्यवहार को दर्शाता: ऊर्जा परिदृश्य का आकार यह निर्धारित करता है कि कोई प्रणाली अपनी निम्नतम ऊर्जा अवस्था पा सकती है या वह एक उप-इष्टतम अवस्था में फंसी रह सकती है। उनके निष्कर्ष बताते हैं कि रुचि की कई भौतिक प्रणालियों में "अच्छे" ऊर्जा परिदृश्य हो सकते हैं जिनमें कोई उप-इष्टतम जाल नहीं होता, जो उन्हें प्राकृतिक शीतलन की नकल करने वाले क्वांटम अनुकूलन एल्गोरिदम के लिए आदर्श उम्मीदवार बनाते हैं।

अंततः, यह शोध पत्र क्वांटम अनुकूलन की चुनौती को एक नया रूप देता है। यह पूर्ण ग्राउंड स्टेट खोजने के अमूर्त लक्ष्य से हटकर, उन स्थिर अवस्थाओं को खोजने की व्यावहारिक वास्तविकता पर ध्यान केंद्रित करता है जिनमें प्रकृति बस जाती है। यह सिद्ध करके कि यह कार्य (मानक जटिलता धारणाओं के तहत) क्लासिकली कठिन है लेकिन क्वांटमली आसान है, शोधकर्ताओं ने एक ठोस समस्या की पहचान की है जहाँ क्वांटम कंप्यूटर अपनी श्रेष्ठता प्रदर्शित कर सकते हैं। यह केवल एक सैद्धांतिक जिज्ञासा नहीं है; यह एक ऐसे भविष्य की ओर संकेत करता है जहाँ क्वांटम मशीनें भौतिकी और रसायन विज्ञान की उन समस्याओं को हल कर सकती हैं जो वर्तमान में अगम्य हैं, उसी शीतलन सिद्धांतों का पालन करके जिनका उपयोग ब्रह्मांड ने अपनी शुरुआत से ही किया है।