Optimal (partial) transport to non-convex polygonal domains

技术摘要：非凸多边形域的最优（部分）输运

问题表述
本文研究了当目标域为 $\mathbb{R}^2$ 中的非凸多边形时，最优输运映射与自由边界的正则性。该研究针对两种截然不同的情形：

1. 完全最优输运：给定两个测度相等的有界域 $\Omega$ 和 $\Omega^*$，目标是寻找最小化二次成本 $\int |x-y|^2 d\gamma$ 的输运计划。根据 Brenier 定理，这等价于寻找一个凸势函数 $u$，使得 $(Du)_\# \chi_\Omega = \chi_{\Omega^*}$。研究重点在于奇异集 $A = \{x \in \Omega : u \text{ 在 } x \text{ 处不可微}\}$ 的结构。
2. 最优部分输运：给定质量 $m < \min(|\Omega|, |\Omega^*|)$，问题旨在将子域 $U \subset \Omega$ 输运到子域 $V \subset \Omega^*$。活跃输运区域的边界 $F = \partial U \cap \Omega$ 被称为“自由边界”。本文分析了当 $\Omega^*$ 为非凸多边形时 $F$ 的正则性。

方法论
作者结合了凸分析、几何测度论以及 Monge-Ampère 方程的正则性理论。关键的方法论组成部分包括：

• Legendre 变换与对偶势：分析高度依赖于对偶凸函数 $v = u^*$（或在部分输运情形下的 $v$）。$u$ 在 $x$ 处的可微性对应于 $v$ 在次梯度 $\partial^- u(x)$ 中点的可微性。
• 局部化与次水平集：作者利用中心次水平集 $S^c_h[v](y)$ 来局部化势函数在奇点附近的行为。通过证明这些次水平集保持在目标边界的小邻域内，他们引入了定量的一致凸性估计。
• 奇点的几何分解：奇异集（或自由边界）根据次梯度 $\partial^- u(x)$ 相对于目标多边形 $\Omega^*$ 的几何结构进行分解。作者根据 $\partial^- u(x)$ 是否包含 $\Omega^*$ 的顶点、接触一条边还是接触多条边，对点 $x$ 进行分类。
• 正则性提升（Bootstrapping）：对于目标几何局部为凸的区域（例如边附近的内部区域），作者应用 Caffarelli 的正则性理论以及一致椭圆方程的 Schauder 估计。他们证明了势函数在这些区域内是 $C^\infty$ 的，这意味着奇异集是一条光滑曲线。
• 斜向性估计：在部分输运情形下，光滑性的证明依赖于建立斜向性估计（即自由边界法向量与目标边界法向量之间的角度非零），这使得边界正则性结果得以应用。

主要贡献与结果

• 奇异集的结构（完全输运）：
  本文证明了定理 1.1，该定理提供了当 $\Omega^*$ 为非凸多边形时奇异集 $A$ 的精确描述。作者表明，$A$ 要么是一个有限集，要么在除去有限个点 $\{x_i\}$ 后，局部是一条光滑的一维曲线。

  • “例外”点 $\{x_i\}$ 对应于次梯度 $\partial^- u(x)$ 接触多边形顶点或接触三条及以上边的位置。
  • 在这些例外点附近，奇异集是有限条 Lipschitz 曲线的并集。
  • 证明涉及将 $A$ 分解为集合 $\Sigma_1$（接触顶点）、$\Sigma'_2$（恰好接触两条边）和 $\Sigma''_2$（接触 $\ge 3$ 条边）。结果表明 $\Sigma_1$ 和 $\Sigma''_2$ 是有限集，而 $\Sigma'_2$ 由光滑曲线组成。

• 自由边界的正则性（部分输运）：
  本文证明了定理 1.2，确立了最优部分输运问题中的自由边界 $F$ 在除去有限个奇点后是光滑的。

  • 与完全输运情形类似，自由边界上的奇点出现在次梯度接触 $\Omega^*$ 的顶点或多条边的位置。
  • 作者证明了接触顶点的点集（$F_1$）或接触多条边的点集（$F_2$）是有限的。
  • 对于恰好接触一条边的点（$F_3$），通过斜向性估计和边界正则性理论，证明了自由边界是光滑的（$C^\infty$）。

• 推广与猜想：

  • 注记 1.2 指出，这些结果可推广至一般的正光滑密度，并在正则性稍弱（$C^{1,\alpha}$）的情况下推广至上下有界的密度。
  • 注记 3.2 表明该方法适用于一般维数下两个有界凸域的并集作为目标的情形。
  • 第 5 节 提出了针对高维（$\mathbb{R}^n$）的两个猜想。猜想 5.1 提出，对于到非凸多胞形的完全输运，奇异集在除去一个 Hausdorff 维数至多为 $n-2$ 的集合后，局部是一个光滑的 $(n-1)$ 维超曲面。猜想 5.2 对部分输运中的自由边界提出了类似的断言。

意义与主张
本文声称，相较于先前针对非凸平面域所建立的结果，它提供了关于最优输运中奇点结构更精确的描述。虽然先前的工作（例如 Figalli [16]）确立了奇异集在除去一个可数集后是 $C^1$ 流形，但这项工作针对多边形目标细化了这一结果，表明奇异集在除去一个有限点集后是光滑的。

作者强调了这些结果在数值计算中的实际相关性，特别是利用最优输运算法在多边形域上进行网格生成。通过刻画奇点，本文有助于理解此类算法在非凸角附近的局限性和行为。

本文在涉及高维时保持了谦逊的语气，明确指出 $n=2$ 的结果已得到证明，而向 $n \ge 3$ 的推广仍属于猜想范畴。作者并未声称已解决高维情形，而是提供了一个结构框架和供未来研究的具体猜想。