Optimal (partial) transport to non-convex polygonal domains

技術的サマリー：非凸多角形領域への最適（部分）輸送

問題定式化
本論文は、$\mathbb{R}^2$ において目標領域が非凸多角形である場合の、最適輸送写像と自由境界の正則性を調査する。本研究は 2 つの異なるシナリオに対処する：

1. 完全最適輸送：等測度を持つ 2 つの有界領域 $\Omega$ と $\Omega^*$ が与えられたとき、二次コスト $\int |x-y|^2 d\gamma$ を最小化する輸送計画を見つけることを目的とする。ブリエの定理により、これは $(Du)_\# \chi_\Omega = \chi_{\Omega^*}$ となる凸ポテンシャル $u$ を見つけることと同等である。焦点は、特異集合 $A = \{x \in \Omega : u \text{ は } x \text{ において微分可能でない}\}$ の構造にある。
2. 最適部分輸送：質量 $m < \min(|\Omega|, |\Omega^*|)$ が与えられたとき、部分領域 $U \subset \Omega$ を部分領域 $V \subset \Omega^*$ へ輸送する問題を求める。能動的輸送領域の境界 $F = \partial U \cap \Omega$ を「自由境界」と呼ぶ。本論文は、$\Omega^*$ が非凸多角形である場合の $F$ の正則性を解析する。

手法
著者は、凸解析、幾何学的測度論、およびモンジュ・アンペール方程式の正則性理論の組み合わせを用いる。主要な手法的要素は以下の通りである：

• ルジャンドル変換と双対ポテンシャル：解析は、双対凸関数 $v = u^*$（または部分輸送の場合の $v$）に大きく依存する。$x$ における $u$ の微分可能性は、部分微分 $\partial^- u(x)$ 内の点における $v$ の微分可能性に対応する。
• 局所化と準レベル集合：著者は、特異点近傍におけるポテンシャルの挙動を局所化するために、中心付き準レベル集合 $S^c_h[v](y)$ を利用する。これらの準レベル集合が目標境界の小さな近傍内に留まることを確立することにより、定量的な一様凸性の評価を援用する。
• 特異点の幾何学的分解：特異集合（または自由境界）は、目標多角形 $\Omega^*$ に対する部分微分 $\partial^- u(x)$ の幾何学に基づいて分解される。著者は、$\partial^- u(x)$ が多角形の頂点を含むか、1 つの辺に接するか、複数の辺に接するかによって点 $x$ を分類する。
• 正則性のボストロッピング：目標幾何が局所的に凸である領域（例えば、辺の内部付近）において、著者はカッファレリの正則性理論と一様楕円型方程式に対するシュアダー評価を適用する。これら領域においてポテンシャルが $C^\infty$ であることを示し、特異集合が滑らかな曲線であることを導く。
• 斜交性評価：部分輸送の場合、滑らかさの証明は、自由境界の法線と目標境界の法線との間の角度が非ゼロであるという斜交性評価の確立に依存しており、これにより境界正則性の結果を適用可能にする。

主要な貢献と結果

• 特異集合の構造（完全輸送）：
  本論文は、$\Omega^*$ が非凸多角形である場合の特異集合 $A$ の正確な記述を与える定理 1.1 を証明する。著者は、$A$ が有限集合であるか、あるいは有限個の点 $\{x_i\}$ から離れた場所では局所的に滑らかな 1 次元曲線であることを示す。

  • 「例外」点 $\{x_i\}$ は、部分微分 $\partial^- u(x)$ が多角形の頂点に触れるか、3 つ以上の辺に触れる場所に対応する。
  • これらの例外点の近傍では、特異集合は有限個のリップシッツ曲線の和集合である。
  • 証明は、$A$ を頂点に触れる集合 $\Sigma_1$、ちょうど 2 つの辺に触れる集合 $\Sigma'_2$、および 3 つ以上の辺に触れる集合 $\Sigma''_2$ に分解することを含む。$\Sigma_1$ と $\Sigma''_2$ が有限集合であり、$\Sigma'_2$ が滑らかな曲線からなることが示される。

• 自由境界の正則性（部分輸送）：
  本論文は、最適部分輸送問題における自由境界 $F$ が有限個の特異点から離れて滑らかであることを確立する定理 1.2 を証明する。

  • 完全輸送の場合と同様に、自由境界上の特異点は、部分微分が $\Omega^*$ の頂点に触れるか、複数の辺に触れる場所で生じる。
  • 著者は、頂点に触れる点の集合（$F_1$）または複数の辺に触れる点の集合（$F_2$）が有限であることを証明する。
  • ちょうど 1 つの辺に触れる点（$F_3$）については、自由境界が斜交性評価と境界正則性理論を通じて滑らか（$C^\infty$）であることが示される。

• 一般化と予想：

  • 注記 1.2 は、これらの結果が一般的な正の滑らかな密度に拡張され、さらに（わずかに弱い正則性 $C^{1,\alpha}$ で）上下に有界な密度にも拡張されることを指摘する。
  • 注記 3.2 は、この手法が一般次元における 2 つの有界凸領域の和集合である目標に適用可能であることを示している。
  • 第 5 節では、高次元（$\mathbb{R}^n$）に対する 2 つの予想を定式化する。予想 5.1 は、非凸多面体への完全輸送において、特異集合はハウスドルフ次元が最大で $n-2$ である集合から離れて局所的に滑らかな $(n-1)$ 次元超曲面であると仮定する。予想 5.2 は、部分輸送における自由境界について同様の主張を行う。

意義と主張
本論文は、非凸平面領域に対してこれまでに確立されていたものよりも、最適輸送における特異構造のより正確な記述を提供すると主張する。以前の研究（例えば Figalli [16]）は、特異集合が可算集合から離れて $C^1$ 多様体であることを確立していたが、本研究は多角形目標に対してその結果を精緻化し、特異集合が有限個の点から離れて滑らかであることを示している。

著者は、これらの結果が数値計算、特に最適輸送アルゴリズムを用いた多角形領域におけるメッシュ生成において実用的に関連性を有することを強調する。特異性を特徴づけることで、本論文は非凸コーナー近傍におけるそのようなアルゴリズムの限界と挙動の理解を助ける。

本論文は、高次元に関する主張において控えめなトーンを維持しており、$n=2$ の結果は証明されているが、$n \ge 3$ への拡張は依然として予想に留まると明確に述べている。著者は高次元の場合を解決したとは主張せず、将来の調査のための構造的枠組みと具体的な予想を提供している。