Optimal (partial) transport to non-convex polygonal domains

Résumé technique : Transport optimal (partiel) vers des domaines polygonaux non convexes

Formulation du problème
Cet article étudie la régularité des applications de transport optimal et des frontières libres lorsque le domaine cible est un polygone non convexe dans $\mathbb{R}^2$. L'étude aborde deux scénarios distincts :

1. Transport optimal complet : Étant donné deux domaines bornés $\Omega$ et $\Omega^*$ de mesure égale, l'objectif est de trouver un plan de transport minimisant le coût quadratique $\int |x-y|^2 d\gamma$. D'après le théorème de Brenier, cela équivaut à trouver un potentiel convexe $u$ tel que $(Du)_\# \chi_\Omega = \chi_{\Omega^*}$. L'accent est mis sur la structure de l'ensemble singulier $A = \{x \in \Omega : u \text{ n'est pas différentiable en } x\}$.
2. Transport optimal partiel : Étant donné une masse $m < \min(|\Omega|, |\Omega^*|)$, le problème cherche à transporter un sous-domaine $U \subset \Omega$ vers un sous-domaine $V \subset \Omega^*$. La frontière de la région de transport active, $F = \partial U \cap \Omega$, est appelée « frontière libre ». L'article analyse la régularité de $F$ lorsque $\Omega^*$ est un polygone non convexe.

Méthodologie
Les auteurs emploient une combinaison d'analyse convexe, de théorie de la mesure géométrique et de théorie de la régularité pour les équations de Monge-Ampère. Les composants méthodologiques clés incluent :

• Transformée de Legendre et potentiels duaux : L'analyse repose fortement sur la fonction convexe duale $v = u^*$ (ou $v$ dans le cas du transport partiel). La différentiabilité de $u$ en $x$ correspond à la différentiabilité de $v$ aux points du sous-gradient $\partial^- u(x)$.
• Localisation et ensembles de sous-niveau : Les auteurs utilisent les ensembles de sous-niveau centrés $S^c_h[v](y)$ pour localiser le comportement du potentiel près des singularités. En établissant que ces ensembles de sous-niveau restent dans de petits voisinages de la frontière cible, ils invoquent des estimations quantitatives de convexité uniforme.
• Décomposition géométrique des singularités : L'ensemble singulier (ou la frontière libre) est décomposé en fonction de la géométrie du sous-gradient $\partial^- u(x)$ par rapport au polygone cible $\Omega^*$. Les auteurs catégorisent les points $x$ selon que $\partial^- u(x)$ contient un sommet du polygone, touche une arête, ou touche plusieurs arêtes.
• Bootstrap de régularité : Pour les régions où la géométrie cible est localement convexe (par exemple, près de l'intérieur d'une arête), les auteurs appliquent la théorie de la régularité de Caffarelli et les estimées de Schauder pour les équations uniformément elliptiques. Ils démontrent que le potentiel est $C^\infty$ dans ces régions, impliquant que l'ensemble singulier est une courbe lisse.
• Estimées d'obliquité : Dans le cas du transport partiel, la preuve de la régularité repose sur l'établissement d'une estimée d'obliquité (l'angle entre la normale à la frontière libre et la normale à la frontière cible est non nul), ce qui permet l'application des résultats de régularité au bord.

Contributions et résultats clés

• Structure de l'ensemble singulier (Transport complet) :
  L'article démontre le Théorème 1.1, qui fournit une description précise de l'ensemble singulier $A$ lorsque $\Omega^*$ est un polygone non convexe. Les auteurs montrent que $A$ est soit un ensemble fini, soit, à l'exception d'un nombre fini de points $\{x_i\}$, localement une courbe lisse de dimension un.

  • Les points « exceptionnels » $\{x_i\}$ correspondent aux emplacements où le sous-gradient $\partial^- u(x)$ touche un sommet du polygone ou touche trois arêtes ou plus.
  • Près de ces points exceptionnels, l'ensemble singulier est une union d'un nombre fini de courbes lipschitziennes.
  • La preuve consiste à décomposer $A$ en ensembles $\Sigma_1$ (touchant les sommets), $\Sigma'_2$ (touchant exactement deux arêtes) et $\Sigma''_2$ (touchant $\ge 3$ arêtes). Il est démontré que $\Sigma_1$ et $\Sigma''_2$ sont des ensembles finis, tandis que $\Sigma'_2$ est constitué de courbes lisses.

• Régularité de la frontière libre (Transport partiel) :
  L'article démontre le Théorème 1.2, établissant que la frontière libre $F$ dans le problème de transport optimal partiel est lisse à l'exception d'un nombre fini de points singuliers.

  • De manière similaire au cas du transport complet, les points singuliers sur la frontière libre apparaissent là où le sous-gradient touche un sommet de $\Omega^*$ ou plusieurs arêtes.
  • Les auteurs prouvent que l'ensemble des points touchant les sommets ($F_1$) ou plusieurs arêtes ($F_2$) est fini.
  • Pour les points touchant exactement une arête ($F_3$), la frontière libre est démontrée comme étant lisse ($C^\infty$) via des estimées d'obliquité et la théorie de la régularité au bord.

• Généralisations et conjectures :

  • La Remarque 1.2 note que ces résultats s'étendent aux densités positives lisses générales et, avec une régularité légèrement plus faible ($C^{1,\alpha}$), aux densités bornées inférieurement et supérieurement.
  • La Remarque 3.2 indique que la méthode s'applique à des cibles qui sont des unions de deux domaines convexes bornés en dimensions générales.
  • La Section 5 formule deux conjectures pour les dimensions supérieures ($\mathbb{R}^n$). La Conjecture 5.1 postule que pour le transport complet vers un polytope non convexe, l'ensemble singulier est localement une hypersurface lisse de dimension $(n-1)$ à l'exception d'un ensemble de dimension de Hausdorff au plus $n-2$. La Conjecture 5.2 fait une affirmation similaire pour la frontière libre dans le transport partiel.

Portée et affirmations
L'article prétend fournir une description plus précise de la structure des singularités dans le transport optimal que celle établie précédemment pour les domaines planaires non convexes. Alors que des travaux antérieurs (par exemple, Figalli [16]) ont établi que les ensembles singuliers sont des variétés $C^1$ à l'exception d'un ensemble dénombrable, ce travail affine ce résultat pour des cibles polygonales, montrant que l'ensemble singulier est lisse à l'exception d'un ensemble fini de points.

Les auteurs soulignent la pertinence pratique de ces résultats dans les calculs numériques, spécifiquement pour la génération de maillages sur des domaines polygonaux utilisant des algorithmes de transport optimal. En caractérisant les singularités, l'article aide à comprendre les limites et le comportement de tels algorithmes près des coins non convexes.

L'article maintient un ton modeste concernant les dimensions supérieures, affirmant explicitement que les résultats pour $n=2$ sont démontrés, tandis que l'extension à $n \ge 3$ reste une conjecture. Les auteurs ne prétendent pas avoir résolu le cas de dimension supérieure mais fournissent un cadre structurel et des conjectures spécifiques pour de futures investigations.