Splitting aspects of holomorphic distributions with locally free tangent sheaf

技术摘要：具有局部自由切丛的全纯分布的拆分问题

问题陈述
本文研究了复流形（特别是 $\mathbb{P}^n$ 对于 $n \ge 3$ 或 $\mathbb{C}^n$ 中的原点邻域）上 $k$ 维奇异全纯分布 $D$ 的结构性质，重点讨论切丛 $T_D$ 为局部自由的情况。领域内一个核心问题（见文献 [1]）是：在 $\mathbb{P}^3$ 上，具有局部自由切丛的一维余维分布（codimension-one foliation）的切丛是否必然拆分为线丛的直和（即 $T_F \cong \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(e_i)$）。虽然近期的工作 [15] 对非积分分布（特别是接触结构）给出了否定回答，但本研究调查了在分布存在切向一维叶状结构 $G$ 时，满足何种充分条件可以实现此类拆分。

核心问题（问题 2）表述如下：给定一个具有局部自由切丛的二维分布 $D$，以及一个切于 $D$ 的一维叶状结构 $G$，在什么条件下存在另一个切于 $D$ 的一维叶状结构 $H$，使得 $T_D = T_G \oplus T_H$？

研究方法
作者结合了局部代数几何、层论以及涉及有向图的组合方法。

1. 局部除法与线性秩： 本文引入了“局部除法”的概念，即若叶状结构 $G$ 在点 $p$ 处局部除以分布 $D$，则意味着 $D$ 的定义形式可以表示为 $G$ 定义的向量场与另一个形式的内积。文中使用的关键不变量是向量场（或叶状结构）在奇异点处的“线性秩”，定义为该向量场线性部分的秩。
2. 层论特征化： 作者建立了切丛拆分、商层 $T_D/T_G$ 的局部自由性以及 $G$ 局部除以 $D$ 之间的等价关系。引理 4.6 和命题 4.8 是关键，它们将切丛的拆分与 $T_G$ 是 $T_D$ 的子丛联系起来。
3. $\mathbb{P}^n$ 上的全局分析： 对于射影情形，分析依赖于奇异集的交集性质。作者利用了在 $\mathbb{P}^n$ 中，特定维数的不可约成分必须相交这一事实，从而从局部除法性质推导出全局结论。
4. 组合图论： 在定理 C（特别是针对幂零向量场）的证明中，作者构建了代表李导数在齐次形式空间上作用的有向图（ss-digraphs）。通过分析路径、循环、源点和汇点，作者证明了叶状结构定义形式中的某些系数必须为零，从而确立了奇异点的代数重数条件。
5. 计算验证： 本文利用 Maple 软件求解由切向性和积分性条件导出的线性方程组，特别是在命题 6.1 和定理 C 的低阶情形证明中。

主要贡献与结果

• 定理 A（局部拆分）： 对于具有局部自由切丛的 $k$ 维分布 $D$ 的局部，以及一个切于 $D$ 且线性秩至少为 $k$ 的叶状结构 $G$，本文证明了要么 $T_D$ 拆分为 $T_G \oplus T_{H_1} \oplus \dots \oplus T_{H_{k-1}}$，要么该分布是正则的。这种拆分发生的充要条件是 $G$ 的奇异集包含在 $D$ 的奇异集中。
• 定理 B（$\mathbb{P}^n$ 上的全局拆分）： 对于 $\mathbb{P}^n$ ($n \ge 3$) 上具有局部自由切丛的二维分布 $D$，以及一个切于 $D$ 且线性秩至少为 2 的叶状结构 $G$，存在拆分 $T_D = T_G \oplus T_H$ 等价于以下条件：$\text{sing}(G)$ 的每一个 $n-2$ 维不可约成分都与 $\text{sing}(D)$ 相交。特别地，若 $\dim(\text{sing}(D)) \ge 2$ 且 $n \ge 4$，则 $T_D$ 总是拆分的。
• 定理 C（$\mathbb{P}^3$ 上的余维一情形）： 若 $F$ 是 $\mathbb{P}^3$ 上具有局部自由切丛的余维一全纯叶状结构，且存在一个非零的全纯向量场切于 $F$，则 $T_F$ 发生拆分。这一结果具有重要意义，因为它在存在切向向量场的特定条件下，为问题 1 提供了肯定的回答。
• 除法性质： 本文完善了 De Rham-Saito 除法引理。它基于向量场线性部分的秩（命题 5.17）以及一形式线性部分的秩（命题 5.19），提供了向量场除以微分形式的替代条件。这些结果被证明适用于经典引理未涵盖的情形。
• 推论 6.22： 将结果扩展到非积分分布，本文表明，若 $\mathbb{P}^3$ 上的余维一分布 $D$ 具有局部自由切丛且度数 $\deg(D) \ge 1$，则只要存在一个切于它的非幂零全纯向量场，则 $D$ 发生拆分。

意义与主张
本文声称提供了一个理解全纯分布切丛拆分的全面框架。通过引入“局部除法”的概念并刻画集合 $S(G, D)$（除法失效的点），作者为拆分建立了精确的几何准则（奇异集的交集）。

这项工作被视为对以往关于叶状结构研究 [1, 4, 8, 9, 16] 的扩展，并为关于 $\mathbb{P}^3$ 上余维一叶状结构切丛拆分的开放问题提供了部分解答。作者指出，虽然度数为 0 的非积分分布（接触结构）不发生拆分，但存在切向向量场（特别是对于度数 $\ge 1$ 的非幂零向量场）会迫使切丛发生拆分。

论文最后提出了问题 3：如果 $\mathbb{P}^3$ 上的一个余维一叶状结构具有局部自由切丛且没有不变超曲面（因此没有有理一阶积分），其切丛是否必然拆分？作者指出，基于已知的反例（这些反例拥有有理一阶积分），答案可能是肯定的，但这仍是一个开放性问题。研究结果旨在提供充分条件和除法准则，作为对 De Rham-Saito 除法引理等经典结果的替代或补充。