Splitting aspects of holomorphic distributions with locally free tangent sheaf

Resumen Técnico: Escisión de Aspectos de Distribuciones Holomorfas con Haz Tangente Localmente Libre

Planteamiento del Problema
El artículo aborda las propiedades estructurales de las distribuciones holomorfas singulares $D$ de dimensión $k$ en variedades complejas (específicamente $\mathbb{P}^n$ para $n \ge 3$ o gérmenes en el origen de $\mathbb{C}^n$), centrándose en el caso donde el haz tangente $T_D$ es localmente libre. Una cuestión central en el campo, planteada previamente en [1], es si el haz tangente de una foliación de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$ con un haz tangente localmente libre necesariamente se escinde en una suma directa de haces de líneas (es decir, $T_F \cong \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(e_i)$). Mientras que el trabajo reciente [15] proporcionó una respuesta negativa para distribuciones no integrables (específicamente estructuras de contacto), este trabajo investiga las condiciones suficientes bajo las cuales tal escisión ocurre, particularmente cuando la distribución admite una foliación tangente unidimensional $G$.

El problema central (Problema 2) se formula de la siguiente manera: Dada una distribución bidimensional $D$ con un haz tangente localmente libre y una foliación unidimensional $G$ tangente a $D$, ¿bajo qué condiciones existe otra foliación unidimensional $H$ tangente a $D$ tal que $T_D = T_G \oplus T_H$?

Metodología
El autor emplea una combinación de geometría algebraica local, teoría de haces y métodos combinatorios involucrando grafos dirigidos.

1. División Local y Rango Lineal: El artículo introduce el concepto de "división local", donde una foliación $G$ divide localmente una distribución $D$ en un punto $p$ si la forma definitoria de $D$ puede expresarse como el producto interior del campo vectorial que define a $G$ y otra forma. Un invariante clave utilizado es el "rango lineal" de un campo vectorial (o foliación) en una singularidad, definido como el rango de la parte lineal del campo vectorial.
2. Caracterización mediante la Teoría de Haces: El autor establece equivalencias entre la escisión del haz, la libertad local del haz cociente $T_D/T_G$, y la propiedad de que $G$ divida localmente a $D$. El Lema 4.6 y la Proposición 4.8 son fundamentales, vinculando la escisión del haz con el hecho de que $T_G$ sea un subhaz de $T_D$.
3. Análisis Global en $\mathbb{P}^n$: Para el caso proyectivo, el análisis se basa en las propiedades de intersección de los conjuntos singulares. El autor utiliza el hecho de que en $\mathbb{P}^n$, los componentes irreducibles de ciertas dimensiones deben intersecarse, lo que permite obtener conclusiones globales a partir de propiedades de división local.
4. Teoría de Grafos Combinatorios: En la demostración del Teorema C (específicamente para campos vectoriales nilpotentes), el autor construye grafos dirigidos (ss-digraphs) que representan la acción de la derivada de Lie sobre espacios de formas homogéneas. Mediante el análisis de caminos, ciclos, fuentes y sumideros en estos grafos, el autor demuestra que ciertos coeficientes en las formas definitorias de las foliaciones deben anularse, estableciendo así condiciones de multiplicidad algebraica para las singularidades.
5. Verificación Computacional: El artículo utiliza el software Maple para resolver sistemas de ecuaciones lineales derivados de las condiciones de tangencia e integrabilidad, particularmente en las demostraciones de la Proposición 6.1 y el Teorema C para casos de bajo grado.

Contribuciones Clave y Resultados

• Teorema A (Escisión Local): Para un gérmen de una distribución $D$ de dimensión $k$ con un haz tangente localmente libre y una foliación tangente $G$ con rango lineal al menos $k$, el artículo demuestra que $T_D$ se escinde como $T_G \oplus T_{H_1} \oplus \dots \oplus T_{H_{k-1}}$, o bien la distribución es regular. Esta escisión ocurre si y solo si el conjunto singular de $G$ está contenido en el conjunto singular de $D$.
• Teorema B (Escisión Global en $\mathbb{P}^n$): Para una distribución bidimensional $D$ en $\mathbb{P}^n$ ($n \ge 3$) con un haz tangente localmente libre y una foliación tangente $G$ con rango lineal al menos 2, la existencia de una escisión $T_D = T_G \oplus T_H$ es equivalente a la condición de que cada componente irreducible de $\text{sing}(G)$ de dimensión $n-2$ interseca a $\text{sing}(D)$. En particular, si $\dim(\text{sing}(D)) \ge 2$ y $n \ge 4$, $T_D$ siempre se escinde.
• Teorema C (Codimensión Uno en $\mathbb{P}^3$): Si $F$ es una foliación holomorfa de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$ con un haz tangente localmente libre, y existe un campo vectorial holomorfo no nulo en $\mathbb{P}^3$ tangente a $F$, entonces $T_F$ se escinde. Este resultado es significativo ya que proporciona una respuesta positiva al Problema 1 bajo la condición específica de la existencia de un campo vectorial tangente.
• Propiedades de División: El artículo refina el Lema de División de De Rham-Saito. Proporciona condiciones alternativas para que un campo vectorial divida una forma diferencial basadas en el rango de la parte lineal del campo vectorial (Proposición 5.17) y el rango de la parte lineal de una 1-forma (Proposición 5.19). Se muestra que estos resultados son aplicables en situaciones no cubiertas por los lemas clásicos.
• Corolario 6.22: Extendiendo los resultados a distribuciones no integrables, el artículo muestra que una distribución de codimensión uno $D$ en $\mathbb{P}^3$ con un haz tangente localmente libre y grado $\deg(D) \ge 1$ se escinde si existe un campo vectorial holomorfo no nilpotente tangente a ella.

Significado y Reivindicaciones
El artículo pretende proporcionar un marco exhaustivo para comprender la escisión de los haces tangentes de las distribuciones holomorfas. Al introducir el concepto de división local y caracterizar el conjunto $S(G, D)$ (puntos donde la división falla), el autor establece criterios geométricos precisos (intersección de conjuntos singulares) para la escisión.

El trabajo se presenta como una extensión de estudios previos sobre foliaciones [1, 4, 8, 9, 16] y ofrece una resolución parcial al problema abierto relativo a la escisión de los haces tangentes para foliaciones de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$. El autor señala que, si bien las distribuciones no integrables de grado 0 (estructuras de contacto) no se escinden, la presencia de un campo vectorial tangente (específicamente no nilpotente para grado $\ge 1$) fuerza la escisión del haz tangente.

El artículo concluye planteando el Problema 3: Si una foliación de codimensión uno en $\mathbb{P}^3$ tiene un haz tangente localmente libre y ninguna hipersuperficie invariante (y por lo tanto no tiene una primera integral racional), ¿su haz tangente necesariamente se escinde? El autor sugiere que, basándose en contraejemplos conocidos (que poseen primeras integrales racionales), la respuesta podría ser afirmativa, pero esto sigue siendo una cuestión abierta. Los resultados se enmarcan de modo que proporcionan condiciones suficientes y criterios de división que sirven como alternativas o complementos a los resultados clásicos como el Lema de División de De Rham-Saito.