Splitting aspects of holomorphic distributions with locally free tangent sheaf

Résumé Technique : Décomposition des aspects des distributions holomorphes avec un faisceau tangent localement libre

Énoncé du Problème
L'article traite des propriétés structurelles des distributions holomorphes singulières $D$ de dimension $k$ sur des variétés complexes $M$ (spécifiquement $\mathbb{P}^n$ pour $n \ge 3$ ou des germes à l'origine dans $\mathbb{C}^n$), en se concentrant sur le cas où le faisceau tangent $T_D$ est localement libre. Une question centrale dans le domaine, posée précédemment dans [1], est de savoir si le faisceau tangent d'une foliation de codimension un sur $\mathbb{P}^3$ possédant un faisceau tangent localement libre se décompose nécessairement en une somme directe de fibrés en droites (c'est-à-dire $T_F \cong \bigoplus \mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(e_i)$). Bien que des travaux récents [15] aient apporté une réponse négative pour les distributions non intégrables (spécifiquement les structures de contact), ce travail étudie les conditions suffisantes sous lesquelles une telle décomposition se produit, particulièrement lorsqu'une distribution admet une foliation tangente unidimensionnelle $G$.

Le problème central (Problème 2) est formulé comme suit : Étant donné une distribution bidimensionnelle $D$ avec un faisceau tangent localement libre et une foliation unidimensionnelle $G$ tangente à $D$, sous quelles conditions existe-t-il une autre foliation unidimensionnelle $H$ tangente à $D$ telle que $T_D = T_G \oplus T_H$ ?

Méthodologie
L'auteur emploie une combinaison de géométrie algébrique locale, de théorie des faisceaux et de méthodes combinatoires impliquant des graphes orientés.

1. Division locale et rang linéaire : L'article introduit le concept de « division locale », où une foliation $G$ divise localement une distribution $D$ en un point $p$ si la forme définissant $D$ peut être exprimée comme le produit intérieur du champ de vecteurs définissant $G$ et d'une autre forme. Un invariant clé utilisé est le « rang linéaire » d'un champ de vecteurs (ou d'une foliation) en une singularité, défini comme le rang de la partie linéaire du champ de vecteurs.
2. Caractérisation par la théorie des faisceaux : L'auteur établit des équivalences entre la décomposition du faisceau, la liberté locale du faisceau quotient $T_D/T_G$, et la propriété selon laquelle $G$ divise localement $D$. Le Lemme 4.6 et la Proposition 4.8 sont pivots, liant la décomposition du faisceau au fait que $T_G$ soit un sous-fibré de $T_D$.
3. Analyse globale sur $\mathbb{P}^n$ : Pour le cas projectif, l'analyse repose sur les propriétés d'intersection des ensembles singuliers. L'auteur utilise le fait que dans $\mathbb{P}^n$, les composantes irréductibles de certaines dimensions doivent s'intersecter, permettant ainsi de tirer des conclusions globales à partir des propriétés de division locale.
4. Théorie des graphes combinatoire : Dans la preuve du Théorème C (spécifiquement pour les champs de vecteurs nilpotents), l'auteur construit des graphes orientés (ss-digraphes) représentant l'action de la dérivée de Lie sur des espaces de formes homogènes. En analysant les chemins, les cycles, les sources et les puits de ces graphes, l'auteur prouve que certains coefficients des formes définissant les foliations doivent s'annuler, établissant ainsi des conditions de multiplicité algébrique pour les singularités.
5. Vérification computationnelle : L'article utilise le logiciel Maple pour résoudre des systèmes d'équations linéaires dérivés des conditions de tangence et d'intégrabilité, notamment dans les preuves de la Proposition 6.1 et du Théorème C pour les cas de bas degré.

Contributions Clés et Résultats

• Théorème A (Décomposition Locale) : Pour un germe d'une distribution de dimension $k$ $D$ avec un faisceau tangent localement libre et une foliation tangente $G$ de rang linéaire au moins $k$, l'article prouve que soit $T_D$ se décompose en $T_G \oplus T_{H_1} \oplus \dots \oplus T_{H_{k-1}}$, soit la distribution est régulière. Cette décomposition se produit si et seulement si l'ensemble singulier de $G$ est contenu dans l'ensemble singulier de $D$.
• Théorème B (Décomposition Globale sur $\mathbb{P}^n$) : Pour une distribution bidimensionnelle $D$ sur $\mathbb{P}^n$ ($n \ge 3$) avec un faisceau tangent localement libre et une foliation tangente $G$ de rang linéaire au moins 2, l'existence d'une décomposition $T_D = T_G \oplus T_H$ est équivalente à la condition que chaque composante irréductible de $\text{sing}(G)$ de dimension $n-2$ intersecte $\text{sing}(D)$. En particulier, si $\dim(\text{sing}(D)) \ge 2$ et $n \ge 4$, $T_D$ se décompose toujours.
• Théorème C (Codimension Un sur $\mathbb{P}^3$) : Si $F$ est une foliation holomorphe de codimension un sur $\mathbb{P}^3$ avec un faisceau tangent localement libre, et qu'il existe un champ de vecteurs holomorphe non nul sur $\mathbb{P}^3$ tangent à $F$, alors $T_F$ se décompose. Ce résultat est significatif car il apporte une réponse positive au Problème 1 sous la condition spécifique de l'existence d'un champ de vecteurs tangent.
• Propriétés de Division : L'article affine le Lemme de Division de De Rham-Saito. Il fournit des conditions alternatives pour qu'un champ de vecteurs divise une forme différentielle en fonction du rang de la partie linéaire du champ de vecteurs (Proposition 5.17) et du rang de la partie linéaire d'une 1-forme (Proposition 5.19). Ces résultats sont montrés comme étant applicables dans des situations non couvertes par les lemmes classiques.
• Corollaire 6.22 : Étendant les résultats aux distributions non intégrables, l'article montre qu'une distribution de codimension un $D$ sur $\mathbb{P}^3$ avec un faisceau tangent localement libre et de degré $\deg(D) \ge 1$ se décompose s'il existe un champ de vecteurs holomorphe non nilpotent tangent à celle-ci.

Signification et Revendications
L'article prétend fournir un cadre complet pour comprendre la décomposition des faisceaux tangents des distributions holomorphes. En introduisant le concept de division locale et en caractérisant l'ensemble $S(G, D)$ (les points où la division échoue), l'auteur établit des critères géométriques précis (intersection des ensembles singuliers) pour la décomposition.

Le travail est présenté comme une extension des études précédentes sur les foliations [1, 4, 8, 9, 16] et offre une résolution partielle du problème ouvert concernant la décomposition des faisceaux tangents pour les foliations de codimension un sur $\mathbb{P}^3$. L'auteur note que bien que les distributions non intégrables de degré 0 (structures de contact) ne se décomposent pas, la présence d'un champ de vecteurs tangent (spécifiquement non nilpotent pour le degré $\ge 1$) force la décomposition du faisceau tangent.

L'article conclut en posant le Problème 3 : Si une foliation de codimension un sur $\mathbb{P}^3$ possède un faisceau tangent localement libre et aucune hypersurface invariante (et donc pas de première intégrale rationnelle), son faisceau tangent doit-il nécessairement se décomposer ? L'auteur suggère que, sur la base des contre-exemples connus (qui possèdent des premières intégrales rationnelles), la réponse pourrait être affirmative, mais cela reste une question ouverte. Les résultats sont présentés comme fournissant des conditions suffisantes et des critères de division qui servent d'alternatives ou de compléments aux résultats classiques tels que le Lemme de Division de De Rham-Saito.