Correlations of multiplicative functions with their partial sums

技术摘要：乘性函数与其部分和的相关性

问题陈述
本文研究了乘性函数与其对应的求和函数（部分和）之间的相关性，具体聚焦于莫比乌斯函数 $\mu(n)$ 及其求和函数 $M(n)$（梅滕斯函数），以及刘维尔函数 $\lambda(n)$ 及其求和函数 $L(n)$。作者定义了一种特定的对数平均相关性度量：
$$\langle a(n)A(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{\zeta(1+\delta(T))} \sum_{n \le T^{1-c}} \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta(T)}}$$
其中 $0 < c < 1$，且 $\delta(T)$ 是一个随 $T \to \infty$ 而衰减的适当选取的参数。核心问题是在黎曼猜想（RH）和零点简单性猜想（SZC）的假设下，确定这些相关性的渐近行为。本研究旨在阐明这些函数是否与其部分和呈现负相关，并推导其对黎曼 zeta 函数非平凡零点 $\rho$ 处的 $1/\zeta'(\rho)$ 增长率的推论。

方法论
证明依赖于解析数论技术，特别是将求和函数与 $\zeta(s)$ 的零点联系起来的显式公式。方法论步骤如下：

1. 显式公式：作者利用由佩龙公式和留数计算推导出的 $M(n-1)$ 和 $L(n-1)$ 的显式公式。在 RH 和 SZC 下，这些公式表示为对非平凡零点 $\rho = 1/2 + i\gamma$ 的求和：
   • $M(n-1) \approx \sum_{|\gamma|<T} \frac{n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{误差项}$。
   • $L(n-1) \approx \frac{n^{1/2}}{\zeta(1/2)} + \sum_{|\gamma|<T} \frac{\zeta(2\rho)n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{误差项}$。
2. 有限和近似：本文利用部分求和建立了 $\mu(n)$、$\mu^2(n)$、$\lambda(n)$ 和 $\lambda^2(n)$ 的狄利克雷级数恒等式的有限版本。这些近似包含依赖于截断极限 $N$ 和 $\epsilon$ 的显式误差界。
3. 洛朗展开与参数选择：证明的核心涉及评估加权和 $\sum \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta}}$。作者在 $\delta=0$ 附近利用洛朗级数展开 $\zeta(1+\delta)$ 和 $\zeta(1-\rho+\delta)$。关键步骤是构造一个特定的函数 $\delta(T)$（依赖于 $T$ 和零点 $\rho$），该函数在确保误差项收敛的同时，隔离出零点求和的主导贡献。
4. 极限分析：通过设定截断极限 $N = T^{1-c}$ 并令 $T \to \infty$，作者隔离了常数项和零点求和项，证明了误差项消失或被 $O(1/N)$ 界定。

主要贡献与结果
本文提出了两个描述相关性渐近极限的主要定理：

• 定理 1（莫比乌斯相关性）：在 RH 和 SZC 下，$\mu(n)$ 与 $M(n-1)$ 之间的相关性由下式给出：
  $$\langle \mu(n)M(n-1) \rangle(T) = -\frac{3}{\pi^2} \left(1 - T^{(c-1)\delta(T)}\right) + \sum_{0<\gamma<T} \frac{1}{|\rho \zeta'(\rho)|^2}$$
  该结果表明存在由项 $-3/\pi^2$ 主导的负偏差（负相关）。

• 定理 2（刘维尔相关性）：在 RH 和 SZC 下，$\lambda(n)$ 与 $L(n-1)$ 之间的相关性由下式给出：
  $$\langle \lambda(n)L(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1 + T^{(c-1)\delta(T)} \right) + \sum_{0<\gamma<T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\rho \zeta'(\rho)} \right|^2$$
  主导项 $\frac{1}{2}(\frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1)$ 约为 $-0.2655$，同样表明存在负相关。

• 数值证据：本文提供了 $N \le 10^7$ 的数值图，显示 $\mu(n)M(n-1)$ 和 $\lambda(n)L(n-1)$ 的计算对数平均值均稳健地为负，与理论预测一致。

意义与推论
这些结果的主要意义在于它们关于 zeta 函数在其零点处的导数 $1/\zeta'(\rho)$ 大小的推论。

• 推论 1：如果定理 1 的右侧为负（如数值数据所示），则意味着一个有效的上界：
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho|) \quad \text{当 } |\gamma| \to \infty$$
• 推论 2：类似地，如果定理 2 的右侧为负，则意味着：
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho| \log \log |\gamma|) \quad \text{当 } |\gamma| \to \infty$$

本文指出，寻找 $1/|\zeta'(\rho)|$ 的有效上界是一个长期存在的未解决问题。虽然下界已被广泛研究，但有效上界的理解尚不充分。作者警告称，必须谨慎解释这些数值结果，并引用梅滕斯猜想（尽管有强有力的数值证据，但最终被证伪）的历史案例，以强调数值趋势不构成证明。然而，推导出的渐近公式与观察到的负相关性的结合表明，$|1/\zeta'(\rho)|$ 的有效上界可能存在，这为 zeta 函数零点的分布提供了新的视角。