Correlations of multiplicative functions with their partial sums

Resumen Técnico: Correlaciones de Funciones Multiplicativas con sus Sumas Parciales

Enunciado del Problema
Este artículo investiga la correlación entre funciones multiplicativas y sus correspondientes funciones de suma acumulada (suma parcial), centrándose específicamente en la función de Möbius $\mu(n)$ y su función de suma acumulada $M(n)$ (la función de Mertens), así como en la función de Liouville $\lambda(n)$ y su función de suma acumulada $L(n)$. El autor define una medida específica de correlación de promedio logarítmico:
$$\langle a(n)A(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{\zeta(1+\delta(T))} \sum_{n \le T^{1-c}} \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta(T)}}$$
donde $0 < c < 1$ y $\delta(T)$ es un parámetro adecuadamente elegido que decae a medida que $T \to \infty$. El problema central es determinar el comportamiento asintótico de estas correlaciones bajo la suposición de la Hipótesis de Riemann (HR) y la Conjetura de Simplicidad de los Ceros (CSZ). El estudio pretende aclarar si estas funciones exhiben anticorrelación con sus sumas parciales y derivar implicaciones para la tasa de crecimiento de $1/\zeta'(\rho)$, donde $\rho$ denota los ceros no triviales de la función zeta de Riemann.

Metodología
Las demostraciones se basan en técnicas de teoría analítica de números, específicamente en las fórmulas explícitas que vinculan las funciones de suma acumulada con los ceros de $\zeta(s)$. La metodología procede de la siguiente manera:

1. Fórmulas Explícitas: El autor utiliza fórmulas explícitas para $M(n-1)$ y $L(n-1)$ derivadas de la fórmula de Perron y el cálculo de residuos. Bajo HR y CSZ, estas se expresan como sumas sobre los ceros no triviales $\rho = 1/2 + i\gamma$:
   • $M(n-1) \approx \sum_{|\gamma|<T} \frac{n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{términos de error}$.
   • $L(n-1) \approx \frac{n^{1/2}}{\zeta(1/2)} + \sum_{|\gamma|<T} \frac{\zeta(2\rho)n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{términos de error}$.
2. Aproximaciones de Sumas Finitas: El artículo establece versiones finitas de identidades de series de Dirichlet para $\mu(n)$, $\mu^2(n)$, $\lambda(n)$ y $\lambda^2(n)$ utilizando sumación parcial. Estas aproximaciones incluyen cotas de error explícitas dependientes de $N$ (el límite de truncamiento) y $\epsilon$.
3. Expansión de Laurent y Selección de Parámetros: El núcleo de la demostración implica evaluar la suma ponderada $\sum \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta}}$. El autor expande $\zeta(1+\delta)$ y $\zeta(1-\rho+\delta)$ utilizando series de Laurent alrededor de $\delta=0$. Un paso crítico es la construcción de una función específica $\delta(T)$ (dependiente de $T$ y de los ceros $\rho$) que asegure la convergencia de los términos de error mientras aísla las contribuciones dominantes de las sumas sobre ceros.
4. Análisis de Límites: Al establecer el límite de truncamiento $N = T^{1-c}$ y hacer que $T \to \infty$, el autor aísla los términos constantes y las sumas sobre ceros, demostrando que los términos de error se anulan o están acotados por $O(1/N)$.

Contribuciones y Resultados Clave
El artículo presenta dos teoremas principales que describen los límites asintóticos de las correlaciones:

• Teorema 1 (Correlación de Möbius): Bajo HR y CSZ, la correlación entre $\mu(n)$ y $M(n-1)$ viene dada por:
  $$\langle \mu(n)M(n-1) \rangle(T) = -\frac{3}{\pi^2} \left(1 - T^{(c-1)\delta(T)}\right) + \sum_{0<\gamma<T} \frac{1}{|\rho \zeta'(\rho)|^2}$$
  El resultado sugiere un sesgo negativo (anticorrelación) dominado por el término $-3/\pi^2$.

• Teorema 2 (Correlación de Liouville): Bajo HR y CSZ, la correlación entre $\lambda(n)$ y $L(n-1)$ viene dada por:
  $$\langle \lambda(n)L(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1 + T^{(c-1)\delta(T)} \right) + \sum_{0<\gamma<T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\rho \zeta'(\rho)} \right|^2$$
  El término principal $\frac{1}{2}(\frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1)$ es aproximadamente $-0.2655$, indicando también una correlación negativa.

• Evidencia Numérica: El artículo proporciona gráficos numéricos para $N \le 10^7$ que muestran que los promedios logarítmicos calculados tanto para $\mu(n)M(n-1)$ como para $\lambda(n)L(n-1)$ son robustamente negativos, alineándose con las predicciones teóricas.

Significado e Implicaciones
El significado principal de estos resultados radica en sus corolarios respecto a la magnitud de la derivada de la función zeta en sus ceros, $1/\zeta'(\rho)$.

• Corolario 1: Si el lado derecho del Teorema 1 es negativo (como sugieren los datos numéricos), implica una cota superior efectiva:
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho|) \quad \text{cuando } |\gamma| \to \infty$$
• Corolario 2: De manera similar, si el lado derecho del Teorema 2 es negativo, implica:
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho| \log \log |\gamma|) \quad \text{cuando } |\gamma| \to \infty$$

El artículo señala que encontrar cotas superiores efectivas para $1/|\zeta'(\rho)|$ es un problema abierto de larga data. Mientras que las cotas inferiores están bien estudiadas, las cotas superiores efectivas son menos comprendidas. El autor advierte que estos resultados numéricos deben interpretarse con cuidado, citando el ejemplo histórico de la conjetura de Mertens (que fue refutada a pesar de una fuerte evidencia numérica) para enfatizar que las tendencias numéricas no constituyen prueba. Sin embargo, la combinación de las fórmulas asintóticas derivadas y las correlaciones negativas observadas sugiere que podrían existir cotas superiores efectivas sobre $|1/\zeta'(\rho)|$, proporcionando una nueva perspectiva sobre la distribución de los ceros de la función zeta.