Correlations of multiplicative functions with their partial sums

Résumé technique : Corrélations des fonctions multiplicatives avec leurs sommes partielles

Énoncé du problème
Ce papier examine la corrélation entre les fonctions multiplicatives et leurs fonctions de sommation correspondantes (sommes partielles), en se concentrant spécifiquement sur la fonction de Möbius $\mu(n)$ et sa fonction de sommation $M(n)$ (la fonction de Mertens), ainsi que sur la fonction de Liouville $\lambda(n)$ et sa fonction de sommation $L(n)$. L'auteur définit une mesure spécifique de corrélation logarithmique moyenne :
$$\langle a(n)A(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{\zeta(1+\delta(T))} \sum_{n \le T^{1-c}} \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta(T)}}$$
où $0 < c < 1$ et $\delta(T)$ est un paramètre convenablement choisi décroissant lorsque $T \to \infty$. Le problème central consiste à déterminer le comportement asymptotique de ces corrélations sous l'hypothèse de la conjecture de Riemann (RH) et de la conjecture de simplicité des zéros (SZC). L'étude vise à clarifier si ces fonctions présentent une anticorrélation avec leurs sommes partielles et à en déduire des implications pour le taux de croissance de $1/\zeta'(\rho)$, où $\rho$ désigne les zéros non triviaux de la fonction zêta de Riemann.

Méthodologie
Les preuves reposent sur des techniques de théorie analytique des nombres, spécifiquement les formules explicites reliant les fonctions de sommation aux zéros de $\zeta(s)$. La méthodologie procède comme suit :

1. Formules explicites : L'auteur utilise des formules explicites pour $M(n-1)$ et $L(n-1)$ dérivées de la formule de Perron et du calcul des résidus. Sous RH et SZC, celles-ci s'expriment comme des sommes sur les zéros non triviaux $\rho = 1/2 + i\gamma$ :
   • $M(n-1) \approx \sum_{|\gamma|<T} \frac{n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{termes d'erreur}$.
   • $L(n-1) \approx \frac{n^{1/2}}{\zeta(1/2)} + \sum_{|\gamma|<T} \frac{\zeta(2\rho)n^\rho}{\rho \zeta'(\rho)} + \text{termes d'erreur}$.
2. Approximations par sommes finies : Le papier établit des versions finies des identités de séries de Dirichlet pour $\mu(n)$, $\mu^2(n)$, $\lambda(n)$ et $\lambda^2(n)$ en utilisant la sommation par parties. Ces approximations incluent des bornes d'erreur explicites dépendant de $N$ (la limite de troncature) et de $\epsilon$.
3. Développement de Laurent et sélection de paramètres : Le cœur de la preuve consiste à évaluer la somme pondérée $\sum \frac{a(n)A(n-1)}{n^{1+\delta}}$. L'auteur développe $\zeta(1+\delta)$ et $\zeta(1-\rho+\delta)$ en séries de Laurent autour de $\delta=0$. Une étape critique est la construction d'une fonction spécifique $\delta(T)$ (dépendant de $T$ et des zéros $\rho$) qui assure la convergence des termes d'erreur tout en isolant les contributions dominantes issues des sommes sur les zéros.
4. Analyse des limites : En fixant la limite de troncature $N = T^{1-c}$ et en faisant tendre $T \to \infty$, l'auteur isole les termes constants et les sommes sur les zéros, démontrant que les termes d'erreur s'annulent ou sont bornés par $O(1/N)$.

Contributions et résultats clés
Le papier présente deux théorèmes principaux décrivant les limites asymptotiques des corrélations :

• Théorème 1 (Corrélation de Möbius) : Sous RH et SZC, la corrélation entre $\mu(n)$ et $M(n-1)$ est donnée par :
  $$\langle \mu(n)M(n-1) \rangle(T) = -\frac{3}{\pi^2} \left(1 - T^{(c-1)\delta(T)}\right) + \sum_{0<\gamma<T} \frac{1}{|\rho \zeta'(\rho)|^2}$$
  Le résultat suggère un biais négatif (anticorrélation) dominé par le terme $-3/\pi^2$.

• Théorème 2 (Corrélation de Liouville) : Sous RH et SZC, la corrélation entre $\lambda(n)$ et $L(n-1)$ est donnée par :
  $$\langle \lambda(n)L(n-1) \rangle(T) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1 + T^{(c-1)\delta(T)} \right) + \sum_{0<\gamma<T} \left| \frac{\zeta(2\rho)}{\rho \zeta'(\rho)} \right|^2$$
  Le terme dominant $\frac{1}{2}(\frac{1}{\zeta^2(1/2)} - 1)$ est approximativement égal à $-0,2655$, indiquant également une corrélation négative.

• Preuves numériques : Le papier fournit des graphiques numériques pour $N \le 10^7$ montrant que les moyennes logarithmiques calculées pour $\mu(n)M(n-1)$ et $\lambda(n)L(n-1)$ sont robustement négatives, en accord avec les prédictions théoriques.

Signification et implications
La signification principale de ces résultats réside dans leurs corollaires concernant l'ampleur de la dérivée de la fonction zêta en ses zéros, $1/\zeta'(\rho)$.

• Corollaire 1 : Si le membre de droite du Théorème 1 est négatif (comme le suggèrent les données numériques), cela implique une borne supérieure effective :
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho|) \quad \text{lorsque } |\gamma| \to \infty$$
• Corollaire 2 : De même, si le membre de droite du Théorème 2 est négatif, cela implique :
  $$\frac{1}{\zeta'(\rho)} = o(|\rho| \log \log |\gamma|) \quad \text{lorsque } |\gamma| \to \infty$$

Le papier note que trouver des bornes supérieures effectives pour $1/|\zeta'(\rho)|$ est un problème ouvert de longue date. Si les bornes inférieures sont bien étudiées, les bornes supérieures effectives sont moins comprises. L'auteur met en garde contre le fait que ces résultats numériques doivent être interprétés avec prudence, citant l'exemple historique de la conjecture de Mertens (qui a été réfutée malgré de fortes preuves numériques) pour souligner que les tendances numériques ne constituent pas une preuve. Cependant, la combinaison des formules asymptotiques dérivées et des corrélations négatives observées suggère que des bornes supérieures effectives sur $|1/\zeta'(\rho)|$ peuvent exister, offrant une nouvelle perspective sur la distribution des zéros de la fonction zêta.