Integrality of $\mathrm{GL}_2\times\mathrm{GL}_2$ Rankin-Selberg integrals for ramified representations

技术摘要：分歧表示下 GL2 × GL2 朗兰兹 - 塞尔伯格积分的整性

问题陈述
本文探讨了与 $GL_2(F)$ 的一对不可约容许泛型 tempered 表示 $\pi_1, \pi_2$ 相关的局部朗兰兹 - 塞尔伯格泽塔积分的整性问题，其中 $F$ 是 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张（$p$ 为奇素数）。虽然已知局部朗兰兹 - 塞尔伯格积分 $Z(\phi, g_1 W^{\text{new}}_{\pi_1}, g_2 W^{\text{new}}_{\pi_2}; s)$ 可分解为 $L(\pi_1 \times \pi_2, s) \cdot \Phi(\dots; q^s)$，其中 $\Phi$ 为有理函数，但 $\Phi$ 系数的算术性质仍然微妙。

具体而言，作者指出“朴素”的整性概念失效：即使输入数据（施瓦茨函数 $\phi$ 和群元素 $g_1, g_2$）定义在 $\mathbb{Z}$ 上，所得多项式 $\Phi$ 的系数也不一定属于某个数域的整数环（可能在 $p$ 处局部化）。核心问题在于识别一种精细的“整数据”概念，使得由此产生的泽塔积分在除以局部 $L$ 因子后，所得多项式的系数属于特定的算术环 $A$。这一动机源于需要建立与新形式傅里叶系数相容的整性性质，并支持朗兰兹 - 塞尔伯格欧拉系统的理论。

方法论
该方法依赖于对朗兰兹 - 塞尔伯格积分的技术性重释，并将其归约为对特定惠特克新向量的研究。

1. 积分的重释：作者构建了一个交换图，将标准朗兰兹 - 塞尔伯格泽塔积分 $Z_\Pi$ 与作用于紧诱导函数空间的线性映射 $\Lambda_\Pi$ 联系起来。这涉及：

   • 定义一个映射 $\Xi_c$，将施瓦茨函数与特征函数的张量积变换为 $P(F) \backslash G(F) / K_\Pi$ 上的函数空间。
   • 利用积分的展开，将 $Z_\Pi$ 与涉及“新”惠特克函数 $I^{\text{new}}_\Pi$ 的积分联系起来。
   • 确立原始泽塔积分的整性归约为在特定陪集代表元 $\gamma$ 上评估的项 $I^{\text{new}}_\Pi(\gamma; s)$ 的整性，并乘以稳定子群体积的逆。

2. 逐案分析：证明的核心涉及对 $GL_2(F)$ 所有类不可约容许泛型表示的惠特克新向量 $W^{\text{new}}_\pi$ 行为的详细、 exhaustive 逐案分析。作者利用了 Assing [Ass19b, Ass19a] 和 Saha [Sah16] 著作中这些向量的显式公式。涵盖的情况包括：

   • 无分歧和分歧的主级表示（半分歧、全分歧）。
   • 斯坦伯格表示（无分歧和分歧扭曲）。
   • 超分歧表示（与二次扩张相关）。
   • 所有这些类型的张量积 $\pi_1 \times \pi_2$。

3. 高斯和与体积因子：在每种情况下，作者评估了相关积分，这些积分通常归约为部分高斯和或广义克洛斯特曼和。一个关键的技术步骤是证明潜在的分子（具体而言，由高斯和产生的 $q-1$ 因子）总是被稳定子群 $P(F) \cap \gamma K_\Pi \gamma^{-1}$ 的体积因子所抵消。

主要贡献与结果

• 整数据的定义：本文引入了 $(\pi_1 \times \pi_2)$-整数据的自然概念。若施瓦茨函数 $\phi$ 取值于由 $\phi$ 的稳定子体积与共轭导子子群 $K_\Pi$ 的交集所确定的特定主理想中，则数据 $(\phi, g_1, g_2)$ 被定义为整的。
• 定理 A（局部整性）：对于任意一对不可约容许泛型 tempered 表示，以及任意 $\Pi$-整数据，泽塔积分分解中出现的多项式 $\Phi$ 属于 $A[X, X^{-1}]$，其中 $A$ 是一个包含球面海克特征值和由表示确定的特定无分歧酉特征的 $\mathbb{Z}[q^{-1}, \mu_{\nu}q^\tau]$-代数。这里 $\tau = \max(c(\pi_1), c(\pi_2))$，且 $\nu$ 取决于表示是否无分歧。
  • 该结果在 $p=2$ 时成立，附加假设超分歧表示是二面体的。
• 定理 B（全局应用）：局部结果被应用于全局自守形式。对于偶权重的归一化尖点新特征形式 $f_1, f_2$，全局朗兰兹 - 塞尔伯格积分 $I(\phi_A, g_1 \phi_{f_1}, g_2 \phi_{f_2}; s)$ 被证明等于 $L(\pi_{f_1} \times \pi_{f_2}, s)$ 乘以一个多项式 $\Phi$，其系数属于特定数域 $E_{f_1, f_2}$ 的整数环（在有限集 $S$ 中的素数处局部化）。
• 三重线性型：本文建立了 $\text{Hom}_{GL_2(F)}(\pi_1 \otimes \pi_2 \otimes \pi_3, 1)$ 中唯一的（至多相差标量）三重线性型的整性结果，该型通过朗兰兹 - 塞尔伯格积分实现，表明其在整新向量上取值于环 $A$。

意义与主张
作者声称，这项工作提供了关于朗兰兹 - 塞尔伯格积分最大公约数的雅克 - 朗兰兹结果的“整性细化”。其意义体现在两个方面：

1. 表示论方面：它解决了分歧表示的整性问题，这是一个朴素整性失效的设定。该结果被描述为“通过局部表示论中整结构的视角来看，是一个具有独立兴趣的自然问题”。
2. 算术几何方面：此处引入的整数据概念具有全局代数几何解释。本文指出，局部整数据精确对应于模曲线整平展上同调在 Loeffler-Skinner-Zerbes (LSZ) 映射下的像中的类。因此，定理 B 被呈现为朗兰兹 - 塞尔伯格欧拉系统和 $p$-adic $L$-函数理论在表示论侧的“类比整性结果”。

本文在逆命题方面保持谦逊：它承认，虽然泽塔积分在整数据上的像包含在由 $L$ 因子生成的主分式理想中，但目前尚不清楚该像是否是整个理想，或者它是否为主理想。这被确定为一个开放问题，可能对优化欧拉系统理论中的局部因子具有潜在影响。